수특에서 배울거리를 정리해보자 기하 31일차
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아래는 오늘 문제인 수특 기하 98p Level3 1번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
정삼각형에서 외접원의 중심은 정삼각형의 무게중심과 일치하죠.
그리고 무게중심은 꼭짓점에서 대변에 내린 수선(여기서는 중선)을 2:1로 내분합니다.
정사면체에서도 비슷한 상황을 생각해볼 수 있습니다.
정사면체의 네 꼭짓점을 지나는 구가 있고 이 구의 중심을 생각해볼 수 있어요.
이 점을 우리가 정사면체의 무게중심이라고 배우지는 않지만
이 점은 정사면체의 각 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선들의 교점입니다.(다 한 점에서 만남)
그리고 그 점은 수선을 3:1로 내분합니다.
결과가 간단하니 알아두시면 좋을 것 같고 증명은 좌표를 놓고 하면 되는데
일반적인 정사면체에 대해서는 직접해보시기 바랍니다.(오늘 문제 ㄷ 풀이랑 같은 과정으로 하면 되어요.)
오늘 문제 볼게요.
ㄱ. 점 B의 좌표를 물었죠.
O, A, B는 모두 zx 평면 위에 있습니다.
zx평면 생각해보면 OB=4이고 x축과 이루는 각이 30도이므로 B의 x좌표는 2루트3, z좌표는 2가 됩니다.
따라서 참이 됩니다.
ㄴ. 점C의 좌표를 물었죠.
C에서 밑면 OAB에 내린 수선의 발 즉, zx 평면에 내린 수선의 발을 H라 하면
H는 OAB의 무게중심이므로 H(2/루트3, 0, 2)가 됩니다.
C와 H는 x, z좌표가 같으니 C의 y좌표만 구하면 됩니다.
직각삼각형 CHB의 높이 CH가 C의 y좌표가 되죠.
BC=4이고 한변 길이 4인 정삼각형의 중선의 2:1 내분을 생각하면 BH=4/루트3이 됩니다.
피타고라스를 쓰면 CH=4루트6 / 3이 되어 C(2/루트3, 4루트6 / 3, 2)입니다.
따라서 참이 됩니다.
ㄷ. 정사면체의 네 꼭짓점을 지나는 구의 중심을 G라 할게요.
GO=GA=GB이고 HO=HA=HB이므로 G는 HC 위에 있습니다.
따라서 G의 x, z 성분은 C, H와 같아서 G(2/루트3, q, 2)라 할 수 있죠.
이제 GB=GC임을 이용해 q를 구할 수 있는데
GB=GC를 두 점 사이 거리 공식을 이용해 구하면 q=2/루트6이 됩니다.
따라서 참이 됩니다.
여기서 실제로 G가 CH를 3:1로 내분하는 것을 알 수 있습니다.
일반적인 정사면체에서도 3:1이 되는데 한번 직접 증명해보고 알아두시면 편할 때가 종종 있습니다.
봐주셔서 감사하고요
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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]
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