[이동훈t] 7월 수학 심층분석 (전문항)

2025 이동훈 기출

https://atom.ac/books/11758/

안녕하세요. 

이동훈 기출문제집의 

이동훈 입니다.

오늘은 7월 학력평가 

수학 전 문항을 

분석해 보겠습니다.

평가원 모의고사가 아니므로

총평은 별 의미가 없을 것이고요.

바로 본론 들어가실까요 ?

지수법칙에 대한 교과서 예제

도함수에 대한 교과서 예제

삼각함수의 성질에 대한 교과서 예제

함수의 극한에 대한 교과서 예제

정적분의 정의에 대한 교과서 예제

별 것 없는 문제이긴 하지만 ...

구하는 값을 먼저 보고, 

식 변형(조작, 대입, ...)을 해야 합니다.

붉은 상자: a3=a1*r^2, a4=a2*r^2 

이므로 a1이 소거되고 

r에 대한 이차식만 남는다.

초록 상자: 등차중항을 적용한다.

이 두 가지가 

문제를 읽자 마자 보여야 합니다.

함수의 극대, 극소에 대한 교과서 연습문제.

f(x) = ax^3 + ... (단, a!=0)

으로 두고 미정계수를 해도 좋지만.

문제에서 주어진 항등식에 

x=0 을 대입해서

f(0)의 값을 구하고,

(아니면 좌변은 상수항이 0 이므로, 바로 f(0)=-1 이긴 함)

인수분해 공식을 적용하여

f ' (x)의 방정식을 유도한 후,

부정적분으로 f(x)의 방정식을 찾아도 좋다.

양쪽 다 좋지만

식의 관찰의 측면에서

후자의 풀이도 반드시 익혀두어야 함.

삼각형의 무게 중심에 대한 공식,

로그의 성질, 지수법칙이

내적 결합된 문제.

속도 - 위치, 

속도 - 움직인 거리

에 대한 전형적인 문제.

이차함수가 주어졌으므로

넓이를 구할 때,

S=|a|/6 * (beta-alpha)^3

의 공식을 적용하면

정적분을 할 필요가 없긴 한데 ...

각 학생 분들이

편한 쪽으로 계산하면 되긴 합니다.

위는 공식을 적용한 풀이의 예.

문제를 읽고 나서

(나)에서 유도되는 식을

(가)의 자연수가 포함되도록 변형해야 한다.

라는 생각이 바로 들어야 합니다.

(가): a1 + 4d = 자연수

(나): S8 = 2(a+4d) - d = 자연수 - d = 68/3 = 23 - 1/3

(왜냐하면 -1 < -d < 0)

 68 = 69 - 1 이 정도 수 감각은 좀 있어야 하고요.

a1, d를 구했다면

등차수열의 일반항에서 a16을 유도하면 됩니다.

붉은 상자: 

구간 [0, 4) 에서 정의된 곡선 y=f(x)를 

x축의 방향으로 4, y축의 방향으로 16 만큼 평행이동 시키면

구간 [4, 8) 에서 정의된 곡선 y=f(x)와 일치한다.

이게 바로 보여야 하고 ...

그렇다면 

연속성: f(4) = f(0) + 16

미분가능성: f ' (0+) = f ' (4+) = f ' (4-)

에서 a, b 의 값을 구하고, 그림을 그리면 ... 

위의 그림에서 구하는 정적분의 값은

S+T 인데요.

이 과정에서 삼차함수의 변곡점이 보였다면

점대칭성을 이용해도 좋습니다.

기하 문제는 다양한 풀이가 

가능한 경우가 많고 ...

이 문제의 경우에도 최소한 3~4개 이상의 

서로 다른 풀이가 가능할 것으로 보입니다.

아마도 가장 빠른 풀이는

다음과 같을 것 같은데요.

주황색 상자: 

선분 BC의 길이와 

마주보는 각 A의 사인값이 주어졌으므로

사인법칙에서 큰 원의 반지름의 길이를 구한다.

그런데 문제에서

작은 원의 반지름의 길이를 주었으므로 

삼각형 O'AO에서 각 A의 코사인 값을 알면

선분 OO'의 길이의 제곱값을 알 수 있다.

이제 각 O'AO 의 값을 구하면 되는데 ...

아직 사용하지 않은 조건은 ACD = 60도 이고 ...

이를 작은 원의 원주각으로 보면

중심각의 크기가 120도 이고,

현의 AD 의 수직 이등분선을 그으면

위의 그림처럼 

각 O'AO 의 크기가 30 도 임을 알 수 있습니다.

이 풀이 말고 ...

AC 가 두 원의 공통현임을 

이용하는 풀이도 가능하지만

많이 돌아가는 느낌이고요.

평면 기하 문제에서

최적의 풀이를 찾는 것은 쉽지 않긴 한데 ...

꾸준한 연습만이 답이긴 합니다.

그래서 최근 수능에서는

잘 안 보이는 기하 문제는

지양하는 편이긴 합니다.

일단 f(x) 그래프 그리시고 ...

직선 y=a(x-5) (x>0) 와 곡선 y=g(x) 는 

오직 한 점 (2, -3a) 에서만 만나므로

곡선 y=g(x) 위의 점 (2, -3a) 에서의

접선은 y=a(x-5) 이다.

이 이후는 단순 계산 입니다. 

좋은 문제인데.

자수 관점이 추가되었다면

더 좋았을 것 같습니다.

수형도 역방향으로 쓰는 문제인데.

주어지는 귀납적 정의만 달라질 뿐,

워낙 자주 출제된 유형이라

빠짐없이, 중복되지 않게 쓰면

답을 구하는게 그리 어렵지는 않습니다.

다만 이 문제는 1 번이 함정 보기라서

(125 = 120 + 1 + 4 이고, 

1, 4 빼먹으면 1번을 찍게 됩니다.)

이 지점에서 걸러진 수험생 분들이

좀 있지 않은가 ... 합니다.

로그방정식의 교과서 연습문제.

진수 조건 항상 조심해야 합니다.

도함수의 교과서 예제.

왼쪽 등식에서 

시그마 (k=1 에서 k=15까지)

의 값을 구하고,

오른쪽 등식에서

시그마 (k=1 에서 k=14까지) 

= 시그마 (k=1 에서 k=15까지) - a15

으로 변형하고 a15의 값을 구하면 됩니다.

위의 그림처럼

f(x)의 x절편 1, 2,

g(x)의 x절편 1/2, 

두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 교점의 x좌표 1/4, 5/4, ...

가 바로 나와야 합니다.

위의 그림에서

삼각형의 밑면의 길이는 두 삼각함수의 주기와 같고,

높이는 2 * f(1/4) 입니다.

이런 식으로 대칭이동, 대칭성, ... 

등을 이용하면 좀 더 계산이 간단해 집니다.

직선 y=g(x) 가 위의 그림처럼 그려지면

함수 h(x) 의 그래프와 직선 어떤 y=k 는

서로 다른 네 점에서 만나게 됩니다.

이때, 함수 h(x) 는

감소 -> 증가 -> 감소 -> 증가

이고 ... 

이렇게 되지 않는 경우를 제외하면 된다는

생각이 들어야 합니다.

문제를 풀 때,

우선 문제에서 주어진 조건을 모두 만족시키는 

경우를 하나 이상 찾아야 합니다.

그러고 나면 문제를 어떻게 해결해야 할지가

비로소 보이는데요.

이 문제도 마찬가지 입니다.

함수 h(x) 가 

감소 -> 증가 또는 증가 -> 감소 -> 증가

인 경우는 각각 교점의 최대 개수가

2, 3 이므로 제외되어야 합니다.

위의 그림처럼

M = 0,

m = 극대점과 점 (2, 2)를 잇는 직선의 기울기

인데요 ...

아무 생각없이 m 이 접할 때, 

라고 생각한 분들은 

좀 더 엄밀하게 문제를 접근해야 합니다.

두 곡선

y=5log_2 x + m, 

y=5log_2 (4-x) + m

이 직선 x=2 에 서로 대칭이다.

가 우선적으로 보여야 합니다.

위의 그림처럼

(x1+x2)/2=2, 즉 x1+x2=4 입니다.

g(t)=(일정) 하기위해서는

위의 그림처럼 붉은 교점이 없어야 합니다.

(왜냐하면 이 교점의 x좌표는 변하기 때문에)

따라서 a=(함수 f(x)의 y절편) 임을 알 수 있고,

나머지는 단순한 계산 입니다.

그리고 .. 경계값

(이 문제에서는 y절편)이 

항상 답인 것은 아니지만

그럴 확률이 더 높기 때문에

일단 경계값을 

우선적으로 관찰할 필요가 있습니다.

일단 위와 같이 함수 f(x) 의 그래프를 그리고 ...

곱한 함수의 연속성은

아래의 세 경우를 모두 생각해야 합니다.

연속 * 연속 = 연속

연속 * 불연속 = 연속 (가)

불연속 * 불연속 = 연속 (나)

22번에 온 킬러 이므로 ...

위의 세 경우가 하나의 그림에 표현될 것이라는

예측은 당연히 할 수 있어야 하고요.

(실제로 풀고 나면 그러하고.)

(가)의 상황이 두 번 연출 되었을 가능성 보다는

(가), (나) 가 모두 있을 가능성이 더 높다는

생각이 들어야 합니다.

(22번에 오는 킬러 이니까요.)

하나의 그림에서

서로 다른 두 경우를 모두 묻는 것은

그 동안 평가원 기출에서

수도 없이 보여주었던 것이니까요.

그렇다면 가장 확률이 높은 상황은

b-a=k

이고, x=a에서 함수 f(x)f(x+k)의 연속일 조건을 생각하면

(a, b) = (1, 7), (2, 6)

을 얻고, 

(이제 둘 중 하나를 지우면 되므로 잘 풀고 있다는

신호이기도 합니다.)

a=1, b=7, k=6 이면

함수 f(x)f(x+k)는 x=-5에서 불연속이므로

a=2, b=6, k=4 입니다.

(이때, a=-2에서 (가)의 상황이 연출됩니다.)

이런 사고과정으로 문제를 풀었다면

반드시 b-a != k 인 경우까지

판단할 이유는 없을 것입니다.

왜냐하면 답은 하나 이니까요.

이처럼 킬러를 풀 때에는

출제자의 사고 과정을 

미리 짐작할 필요가 있습니다.

해킹과 같은 것이지요.

이항정리의 교과서 예제

확률의 계산 + 독립사건의 교과서 연습문제.

다음의 필요충분조건을 이용하면 

계산이 좀 더 간단해 집니다.

두 사건 A, B가 서로 독립

(필충) 두 사건 A, B^C가 서로 독립

(필충) 두 사건 A^C, B가 서로 독립

(필충) 두 사건 A^C, B^C가 서로 독립

확률밀도함수의 성질, 

이상확률변수의 평균에 대한 공식,

(고1) 곱셈정리

가 내적 결합된 문제입니다.

교과서 연습문제 수준.

우선 다음의 세 가지의 경우가 

가능함을 알아야 합니다.

7 이 적힌 상자에 들어가는 공의 개수가 

0인 경우(A), 1인 경우(B), 2인 경우(C)

A: 서로 다른 세 수

예를 들어 1, 2, 3

B: 서로 같은 두 수 & 다른 한 수

예를 들어 1, 1, 2

C: 서로 같은 세 수

예를 들어 1, 1, 1

구하는 확률은 B+C 이므로

S-A 즉, 여사건의 확률로

계산하면 가장 빠를 것입니다.

물론 B+C로 확률을 구해도

나쁘지 않습니다.

출제 의도는 전자 이겠지요.

경우의 수, 확률 문제에서는

전체 경우를 모두 생각한다.

가 기본입니다.

문제에서 주어진 연립부등식에서

중복조합 또는 조합을 떠올릴 수 있겠지만

알고보면 부등식을 만족시키는

순서쌍 (p, q, r)은

(1, 2, 5), (1, 3, 4)

뿐임을 알 수 있습니다.

두 경우 각각에 대하여 

같은 것이 있는 순열의 수를

적용하면 됩니다.

a * b + c + d = 홀수

a*b, c, d 가 각각 

홀, 홀, 홀 (가) 또는

홀, 짝, 짝 (나) 또는

짝, 홀, 짝 (다) 또는

짝, 짝, 홀 (라) 또는

이때, 각각에 대하여

a, b, c, d

는

가: 홀, 홀, 홀, 홀

나: 홀, 홀, 짝, 짝

다: 짝, 홀, 홀, 짝 또는

홀, 짝, 홀, 짝 또는

짝, 짝, 홀, 짝

라: 짝, 홀, 짝, 홀 또는

홀, 짝, 짝, 홀 또는

짝, 짝, 짝, 홀

위와 같이 8 개의 경우를 가지고

조건부 확률을 구하면 됩니다.

이 과정에서 여집합의 관점을 

적용해도 좋을 것이고요.

다른 분류도 가능할 것 같습니다만.

생각해야 하는 경우가 8 개 뿐이므로

우직하게 풀어나가면 됩니다.

정규분포에 대한 크게 어렵지 않은

준킬러 보다도 쉬운

(하지만 아주 쉽지는 않은)

문제입니다.

확통 29번이 좀 이런 경향이 있긴 하지요.

붉은 상자: X, Y 다 Z 로 바꾸고

등식을 유도해서 정리하면

sigma = m + 16/m + 2 >= 10

(단, 등호는 m=4일 때 성립)

이때, 산술기하절대부등식을 적용한 것입니다.

수능에서도 이 정도의 절대부등식은

당연히 출제가능할 것이고요,

보라 상자: X, Y 다 Z 로 바꾸고

정규분포의 대칭성으로

등식을 유도하면 k의 값을 구할 수 있습니다.

산술기하절대부등식 보다는

이차함수가 들어갔다면

좀 더 좋았을 것 같다는

생각은 듭니다.

(가)에서 중복조합의 수가 떠올라야 합니다.

연립부등식의 각 변에서 f(1)을 빼면

0 <= f(2)-f(1) <= f(3) <= f(4)

그런데 

(나): f(1)+f(2)=짝수 이므로

f(1), f(2) 는 각각

짝수, 짝수 또는 홀수, 홀수

입니다.

f(2)-f(1)=0, 2, 4

각각에 대하여 

함수 f의 개수를 구하면 되겠습니다.

이런 문제 풀면서 

로피탈의 정리 쓴다고

잡아가지는 않습니다.

VIVA ! L'hopital !

매개변수로 나타내어진 함수의 미분법

교과서 예제

붉은 상자 안 전체를 

bn 으로 치환하는 것도 좋지만.

n이 무한대 일 때, 

an * 4/2n -> 6 에서 

an -> 3n

으로 두고 근사적인 계산을 하면 

좀 더 빠른 계산이 가능합니다.

각 CFE 의 탄젠트 값을 주었고,

두 직선 AE, CD 의 교점이 F 이므로

이 두 직선이 직선 AB 와 이루는 예각의 크기를 

각각 alpha, beta 로 두고

탄젠트의 삼각함수의 공식

tan(beta-alpha) =

(tanbeta - tanalpha) / (1+ tanbeta * tanalpha)

을 적용하는 것이 자연스럽습니다.

번분수는 교육과정 밖이지만

분수 계산은 잘 해야겠습니다.

(일차식) * ln (일차식)

꼴의 부분적분법에 대한 문제입니다.

이런 계산이 좀 어려운 분들은

평가원 또는 교사경 기출에서

이 계산만 찾아서 풀어보시길 바랍니다.

가, 나에서 주어진 조건으로 두 함수 f(x), g(x)의 

함숫값, 미분계수를 써보면

(가): g(0)=0, f(0)=0

(나): x->k 일 때, h(x)->1/3 이므로

g(k)=k, g ' (k)=1/3

즉, f(k)=k, f ' (k) = 3

정리하면 

함수 f(x)는 최고차항의 계수가 1이고,

f(0)=0, f(k)=k 이므로

f(x)-x=x(x-k)(x-alpha) (단, alpha는 상수)

여기서

f ' (k) = 3 의 조건을 이용하면

f(x)-x=x(x-k)(x-k+2/k)

한편 

함수 f(x)는 단조증가하므로

f ' (x) = 0 에서 D<=0

풀면

1<=k<=2

f ' (0) 가 최대이면 k=2

나머지는 역함수의 미분법에 대한

전형적인 계산 문제입니다.

함수 f(x) 의 방정식을 유도할 때,

계산을 좀 더 줄일 수도 있을 것도 같고요.

하지만 위의 풀이에서

크게 벗어나지는 않을 것입니다.

등비수열 {an} 의 공비를 r 이라고 하면

붉은 상자: -1 < r < 0 또는 0 < r < 1

푸른 상자 : -1 < r < 0

(왜냐하면 r 의 양수이면 급수는 양수이다.)

공비가 각각 r^2, r^3 인 

등비급수의 합을 하면

r = -1/4

초록 상자: 주어진 급수가 수렴하므로

일반항은 0 에 수렴한다.

즉, bn = -3|an|

수열 bn은 첫째항이 -3*a1, 공비가 1/4 

인 등비수열이다.

이제 수열 bn 에 대한 급수를 구하면 된다.

초록 상자에서

급수와 일반항의 관계를 적용하지 않고

직접 급수를 구해서 수렴 조건을

찾았다면 계산이 꽤 많았을 것입니다.

이처럼 최근 평가원, 교육청 문제들은

가장 빠른 풀이를 찾는 것을

평가하고 있으므로 ...

이를 항상 고려해야 겠습니다.

올해 수능도 1땡 번 문제들이

그러할 것으로 예상합니다.

붉은 상자: y축 대칭 임이 바로 보여야 하고.

푸른상자: f ' (x) = ln(e^|x|-a)

에 대하여 f ' (-x) = f ' (x)

이므로 

함수 f(x)의 도함수 f ' (x) 는 y축에 대하여 대칭이다.

이때, f(x) 는 점대칭 함수이다.

& f(0)=0 이므로

곡선 y=f(x) 는 원점을 지난다.

따라서 함수 f(x) 는 기함수이다.

이 문제는

아래와 같이 그림을 그리는 것이

자연스러울 것입니다.

구하는 정적분 식이

절댓값을 포함하고 있으므로

적분구간을 둘로 쪼개는 것

즉, [0, k] = [0, ln3/2] 합 [ln3/2, k]

는 미리 예측 가능해야 겠고요.

(이런 생각 ... 너무 중요하지요.

올해 수능에서 100 % 나옵니다.)

나머지는 위의 그림의

상수 alpha 를 가지고 

정적분 계산을 하면 되겠습니다.

(ln 즉, 로그가 있으니 

상수 alpha 가 모두 소거될 것임을

미리 알고 있어야 합니다.)

이미 풀었던 문제를 다시 푸는

느낌이 들었어야 합니다.

벡터의 크기에 대한 교과서 예제

이차함수의 접선에 대한 교과서 예제.

점 A를 지나고 벡터 OA 가 법선벡터인

직선의 방정식을 세우면 되겠습니다.

교과서 연습문제 수준.

포물선 단원의

초점을 지나는 직선에 대한 

전형적인 문제입니다.

위의 그림과 같이

포물선의 정의에 따라

붉은 선분, 푸른 선분을

바로 그어야 하고,

보라 선분을 내려서

피타고라스 공식을 쓸 생각이 

바로 들어야 합니다.

이 정도는 

기계적으로 나와야 합니다.

HA, HF 를 각각 빗변으로 하는

두 직각삼각형에서 닮음비를 적용하면

HF = 12

임을 구할 수 있고.

보라 선분을 높이로 하고 

한 꼭짓점이 H 인 직각삼각형, 

보라 선분을 높이로 하고 

한 꼭짓점이 P 인 직각삼각형

각각에서 피타고라스의 정리를 

적용하면 PH의 길이를 구할 수 있습니다.

(직각) 삼각형의 닮음

-> 두 직각삼각형에서의 피타고라스의 정리

가 이어지는 전형적인 풀이는

수 차례 기출에서 다뤄진 바 있으므로

위에서 말한 것처럼

기계적으로 풀이가 나와야 합니다.

보자 마자

삼수선의 정리

에 대한 문제임을 알아야 합니다.

선분 BP' 는 원의 지름이므로

붉은 선분을 그어야 하고.

삼수선의 정리에 따라

두 개의 보라 수선도 내려야 합니다.

그림을 완성하고 나면

(1) 닮음비가 1 : 2 인 두 직각삼각형

O'HB, P'AB

(2) (피타고라스의 정리를 적용할)

직각삼각형 OHO', O'HB, PAP'

(3) (삼수선의 정리에 의하여)

삼각형 PAH 에서 각 A가 직각이다.

위의 세 가지가 자연스럽게 보여야 합니다.

나머지는 계산을 열심히.

수능에서 한 번 다뤄진 기하적 상황이지요.

(아래의 문제)

두 문제 모두 

y축 위에 있는 원의 중심과

두 초점을 연결해야 한다는 점이 같습니다.

이는 쌍곡선이 y축에 대칭임을 

이용하는 것이지요.

그리고 ...

쌍곡선의 정의,

서로 닮음인 두 직각삼각형,

쌍곡선의 방정식에서 a, b, c의 관계

(c^2=a^2+b^2)

도 어렵지 않게 보여야 합니다.

(가): 점 P는 선분 AB를 지름으로 하는 반원 위에 있다.

(이때, 반원은 제4사분면을 지나지 않는다.)

(나) 벡터 AB = 4 * 벡터 QP

이므로 두 벡터 AB, QP 는 방향이 같고,

벡터 QP 의 크기는 1이다.

그리고 문제에서 |벡터QA| = 2 라고 하였으므로

점 Q는 중심이 A이고 반지름의 길이가 2인

원 위에 있다.

이상을 그림을 나타내면 아래. 

위의 그림처럼

점 Q는 중심이 각각 A, (3, 0)인 두 원의 교점이므로

두 점 P, Q의 x좌표는 각각 3+1/2, 3-1/2

두 점 P, Q의 y좌표는 모두 {2^2 - (1/2)^2}^(1/2)

마지막으로

두 벡터  AP, AQ 를

서로 수직인 두 벡터로 분해해서

계산해주면 됩니다.

(좌표로 해도 좋고요.)

백터의 내적 + 평면 기하의 

매우 전형적인 문제입니다.

AMB = theta

로 잡으신 분들은 

좀 반성 하셔야 하고요.

사면체 AA'PB' 에서

삼수선의 정리, 피타고라스의 정리를

이용하면

AM = 3 * 루트 10

점 B 에서 평면 APB' 에 내린 

수선의 발을 H 라고 하면

삼수선의 정리에 의히여

HA (수직) AM ,

PB' (수직) HB'

즉, AMB'H 는 직사각형이다.

직각삼각형 AMH 에서 

피타고라스의 정리에 의하여

HM = 루트 106

한편 두 직각삼각형

AA'M, B'HB

는 서로 닮음이므로

BH = HB' * 1/3 = 루트 10

직각삼각형 BHM 에서

피타고라스의 정리에 의하여

BM = 루트 116

cos^2 theta = 106/116= = 53/58

A, P, B', B 가 

한 평면 위에 있지 않으므로

점 B 에서 평면 APB' 에 수선의 발 H를

내릴 수 있다.

(왜냐하면 직선 BB' 가 평면 APB' 에 포함되지 않는다.)

이게 보여야 하고 ...

또한

직선과 평면의 수직,

삼수선의 정리,

서로 닮음인 (직각)삼각형,

...

등에 대한 연습이 충분해야 

문제 해결이 가능할 것입니다.

.

.

.

다음 번에

좋은 칼럼으로

또 만나요 ~!

ㅎㅍ~

2025 이동훈 기출 사용법 (+실물사진)

https://orbi.kr/00066537545

2025 이동훈 기출 실전 개념 목차 

(참고로 2025 이동훈 기출은 수분감 + 뉴런 포지션 입니다.)

https://orbi.kr/00066152423

[이동훈t] 학습법, 수학 칼럼 링크 모음 ('23~'24)

https://orbi.kr/00066979648

고1 평가원 기출문제집 (PDF 무료 배포)

https://orbi.kr/00065355303

2025 이동훈 기출

https://atom.ac/books/11758/