신기한 수학적 대상들 (ft. 프리드버그 선형대수학)
게시글 주소: https://iu.orbi.kr/00067231862
1. 다항식의 나눗셈 정리 (division algorithm for polynomials)
자연수 n과 음이 아닌 정수 m이 있다.
n차 다항식 f(x)와 m차 다항식 g(x)에 대하여
다음을 만족하는 다항식 q(x)와 r(x)가 유일하게 존재한다.
이때 r(x)의 차수는 m보다 작다.
--> 이것을 통해 수학(상) (22개정부터는 공통수학1) 에서 다루는
다항식의 나눗셈 결과가 유일함을 확인할 수 있습니다.
수능까지 도달했다가 고1 과외를 위해 복습해보신 분들은
한 번쯤 '이 결과가 유일한가'라는 질문을 스스로에게
던져보지 않으셨을까 생각해봅니다. 저는 그랬습니다.
2. 다항식의 인수분해의 유일성
차수가 자연수인 임의의 다항식 f(x)에 대하여
다음을 만족하는 유일한 상수 c, 서로 다른 유일한
기약(irreducible, 차수가 자연수이고 어떤 체의 원소를 계수로 가지며,
자연수 차수를 가지는 다항식의 곱으로 표현되지 않는 성질) 모닉(monic,
최고차항의 계수가 1인 다항식. 일차식) 다항식
, 유일한 자연수
가 존재한다.
--> 이것을 통해 마찬가지로 다항식을 인수분해한 결과가
유일함을 확인하고 넘어갈 수 있습니다.
3. 복소수에 관한 이야기
- 복소평면은 우리가 일반적으로 사용하는 직교좌표계에서와 마찬가지로
두 축으로 구성된다. x축 자리에 실수축, y축 자리에 허수축이 위치하곤 한다.
따라서 어떤 복소수의 실수부, 허수부는 각각 복소평면에 대응되는 벡터의
종점의 x좌표, y좌표가 된다.
- 복소수는 복소평면의 벡터로 생각할 수 있다.
- 복소수의 덧셈은 벡터의 덧셈에 대응한다.
- 복소수의 곱셈 결과에 해당하는 벡터는 각 벡터(복소수)가
실수축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 모두 더한 크기의 각을 지닌다.
- 이외에 아래의 식을 확인하라!
이때 e^(i@)는 복소평면에서 크기가 1이고
실수축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 @인 벡터이다.
즉, 단위벡터이다.
따라서 모든 복소수를 다음과 같이 이해할 수 있다.
--> 고등학교 1학년 교육과정 밖의 내용이 조금 섞여있지만
이를 이해함으로써 복소수에 대한 보다 넓은 시야를 갖출 수 있습니다.
4. 대수학의 기본 정리
먼저 미적분학의 기본 정리(the fundamental theorem of calculus)는 다음과 같다.
FTC1:
FTC2:
비슷한 이름인 대수학의 기본 정리(the fundamental theorem of algebra)는
다음과 같다.
복소수체 C에 대한 벡터공간 P의 다항식
--> 이를 통해 복소수 범위에서 모든 다항식은
식의 값이 0이 되도록 하는 독립변수값이 존재함을 알 수 있습니다.
보통 고등학교 수학에서는 실수 범위에서 이야기를 이어가기에
차수가 홀수인 다항식은 사잇값 정리(the intermediate value theorem)를 통해
근의 존재성을 직관적으로 확인할 수 있는 데에서 그치지만,
대수학의 기본 정리를 확인함으로써 복소수 차원에서 다항식은
항상 해를 갖는다는 사실을 보다 명확히 인식할 수 있겠습니다.
5. 체, 벡터공간, 다항식에 대하여
먼저 체의 정의는 다음과 같습니다.
그리고 벡터공간의 정의는 다음과 같습니다.
이에 따른 다항식의 정의가 다음과 같습니다.
--> 이를 통해 수학(상)에서 다항식을 공부할 때
다항식의 무엇이냐라는 정의에 대한 질문에 보다
체계적으로 답할 수 있을 것이라 생각합니다.
이전에 위키백과에서 확인한 바로는
f(x)=0의 경우 차수를 정의하지 않거나 -무한대로 정의한다고
확인했던 기억이 있는데 프리드버그 선형대수학 교재에서는
-1차로 정의하고 있네요!
p.s. 수학을 공부하다 보면 A를 설명하기 위해 B가 필요한데
B를 설명하기 위해서는 A가 필요한 그러한 상황을
맞이할 수 있다고 느꼈습니다. 물론 배움이 부족하여 그렇게
느끼는 것일테지만 이러한 상황에서 수학적 대상이라는 표현이
도움이 될 수 있다는 생각이 들었습니다.
물론 수학적 대상이라는 것도 인간이 언어를 발명하고
수학과 대상이라는 단어의 의미를 정의한 후에
비로소 의미를 지니게 된 표현이겠지만...
인간은 내가 직접 감각하는 것들 외에는
어떠한 개념의 유래, 발생 과정 등에 대해
확신을 갖지 못할 때가 있지 않습니까?
어느 정도는 이해하지 못했다는 느낌을 안고 넘어가는 것도
학습을 이어가는 데에 도움이 될 수 있지 않을까 하는 생각을 해봅니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
카의vs고의 5
카의호소인으로서 솔찍히 무조건 카의라고 생각하지만 그래도 인지도 면에서는 sky빨...
-
. 1
-
누가 사라지는지 확인하려면.... 그 방법밖에 없는데
-
왜 다른 사람들은 역사에 별 관심이 없을까 생각해봤는데 "1795년,...
-
쫑느 현장에서 듣고 싶엉엉엉?? 오늘 물어봣더니 300번대임..
-
나도 미소녀가 되어서 여고생 밴드를 할 수 있지 않을까...? 제 작은 소망입니다
-
맛잇게먹겟슴다 근데 원래 다 주는건가 ㅎ?
-
공부하지말아주세요 운동도 가급적 지양 부탁. 맛있는거 많이 먹고 행복하게 지내시면서...
-
I학점 얘기까지 나오는 거 보면 어떻게든 유급 막으려는 것 같은데 0
문제는 그렇게 해서 뽑은 25학년도 의대생들도 수업 거부하면 26년에는 사실상...
-
고1 진로변경 2
1학기 때 동아리도 물리 쪽, 진로희망은 기계공학,도시공학 쪽으로 생기부를...
-
일하싫 1
퇴근까지 약 1시간 남았는데 갑자기 의욕이 확 떨어짐
-
9평까지 지구 안고 가다가 등급 뜨는거보고 그때 사탐으로 바꿔도 괜찮을까.. 지금...
-
(2024 규토 라이트 N제 수1+수2+미적분) 작년에 반수하려다 맘 접고...
-
이게 영어가 3
안하면 확실히 개떡락함 나 그래도 23수능 90점인데 2506 68점나옴......
-
퍼즐형 문제 내는 게 불가능한가?? 왜 안 하지
-
진짜 탈릅 몇명인거야..
-
오늘은 피곤한 관계로 한시간 잠은행에 저축하기 낼봐요 그럼 이ㅁ
-
걍 퍼즐형 만들어서라도 1컷 40 되는거 보고싶음 맨날 48 50만 보는 듯....
-
여름방학 3주라 최대한 수학에 몰빵할 계획이에요ㅠ 수2 못해서,, 수시러입니당 내신...
-
옛날에는 고수도 존나많고 칼럼도많고 유동인구도 많았는데
-
애초에 시험 난이도는 평가원이 정색하고 ㅈㄴ 어렵게 내려면 어렵게 낼 수 있을거임....
-
베이스는 역스퍼거수준은 아니구요.. 한국사1~2등급 왔다갔다합니다 어렸을 때,...
-
경제 좀 치시는 분? 14
조세를 100원에서 50원으로 줄인다고 생산자가 판매하는 금액이 내려가는 게 아님?
-
누구죠...?
-
저번에 글 올렸는데 답변이 안달려서 다시 올려요ㅠㅡㅠ 작수 50점 5등급인데 이번...
-
답변 중에 별점 1개 받은 답변이 있던데 못보고 해시태그를 달아버렸어요...혹시...
-
야식먹고싶다.. 5
로제떡볶이에 별빛청하 먹고싶어요
-
요즘 킬캠을 현우진모 빡모를 한석원모 등등으로 부르는 사람들이 있던데 뭔가 춘향전...
-
한편으로는 씁쓸하네..
-
너희 챌린지하는거 받안다며여 그거 나도 구해서 1달동ㅇ안 다풀었는데...
-
얼마나 걸림? 쌩노베 기준으로 개념강의 듣고 기출 한번만 풀어도 ㄱㅊ음? 공통은...
-
"인구 21만 목포, 4만 신안과 통합하면 '신안시'로 양보" 1
"신안군이 목포시와 합치면 통합시의 명칭을 '신안시'로 바꾸겠다. 이번만큼은 신안...
-
내일부터 관리자유석 가게됐는데 혹시 그램 처음 시작할때 무슨 필수 공부시간?? 을...
-
11~15번급 N제 19
22, 30 등 초고난도(킬-) 보다도 11~15번대에서 시간 단축하는 연습을...
-
21점 ㅅㅅ
-
7덮보다 체감상 더어렵고 점수도 더안나오네 엄샷풀다 서바풀면 마음이 편안해진다...
-
반갑노~
-
d117오공완 1
피드백1문기정1 핀4모시2 4회 키스띰1일차 프솔회독4...
-
2024.4.1~ nO n회독 완료 n~ n회독 중 사실 회독은 지구만 하는데 그냥...
-
차이 많이 나나요?? 수시 3장을 제가 가고싶은 학교로 다 밀려고 하는데 피말리는...
-
요즘은 700 광년 떨어진 행성의 낮 온도와 밤의 온도도 구분하네... 9
이번에 최초로 외계 행성의 낮과 밤의 온도를 구별했습니다 지구에서 700 광년...
-
갈때가된거같다 13
[회기역 ~ 왕십리] 올 겨울 둘 중 어딘가에 있기를 기원하며 펄럭~펄럭 가야지가야지
-
!!
-
ㅠㅠ
-
시발점 - 마더텅 - 뉴런 이렇게 해도 괜찮을까요?
-
걍 과탐하세요 0
3등급이상은 과탐하세요.. 과탐또 빠짝하면 금방 오르니까 4등급부턴 최대한 빠르게 런 ㄱㄱ
-
공부합시다 2
-
어차피 수능날 실수안할거라 괜찮음 ㅋㅋ 오답만 잘하면 된다고 생각함 왜냐면 작수...
-
대충 비 맞았다는 뜻 이제 한 달 정도 안 씻어도 될듯?
고딩때 벡터 배울 때 벡터의 연산을 합이랑 스칼라곱을 배우는데
이걸 일반화시켜서 합이랑 스칼라곱이 잘 작동하는 공간의 원소를 벡터
내적도 뒤에 보면 똑같이 일반화함
n-tuple에 대해 같은 순서에 해당하는 원소끼리 곱하여 모두 더한다 <-- n차원 벡터공간에서의 내적의 정의
field를 선대에서도 언급하고 가나요? 선대본지 오래돼서 가물가물
강의는 아직 들어보지 못해 잘 모르겠습니다, 본문에 활용한 교재의 경우 첫 단원에서 벡터 공간을 정의할 때 체를 언급하고 맨 뒷 부분 부록에 소개해두었더라고요!
잘 기억은 안나는데 프리드버그가 확실히 수학과에서 쓰기 좋다던데 세밀하네요... 선대군엔 있었던거같기도? 없었던거같기도. 제가 배울때 썼던 strang에는 없었던거같음.
먼 나라 이웃 나라