정적분으로 정의된 함수 (ft. 220620, 2111나20)
게시글 주소: https://iu.orbi.kr/00064361819
현 수능 수학에서는 연속 함수에 대해서만 적분을 다루기 때문에 f(x)는 실수 전체의 집합에서 연속인 함수라고 하겠습니다.
위의 수식이 지니는 의미는 단순합니다.
적분 구간 [a, x]에서 (혹은 구간 [x, a]에서) 함수 f(x)를 적분한 값이라는 뜻입니다.
미적분학의 기본 정리를 이용하면
주어진 함수 g(x)를 아래와 같이 표현할 수 있습니다.
그럼 해보고 싶은 것이 2가지 생깁니다.
하나는 x=a를 대입하여 우변을 0으로 만드는 것이고
다른 하나는 F가 f의 부정적분 중 하나이니 양변을 미분해보는 것입니다.
이것이 교과서에 소개된 '정적분으로 정의된 함수'의 기본 내용입니다.
만약 이런 식으로 g(x)에 변형을 주면 어떨까요?
t는 어차피 적분 변수이니 아래처럼 바꾸어도 상관 없습니다.
혹은 아래처럼 바꾸어도 상관 없기 때문에 우리는 지금 상황에서의 t, y가 하고 있는 역할을 dummy variable이라고 하곤 합니다.
아까보다 상황이 조금 복잡해졌으니 적당한 x값을 대입해 상황을 파악해봅시다.
앞선 상황과 달리 적분할 함수가 계속 변합니다.
따라서 우리가 바로 미적분학의 기본 정리를 적용하기에는 어려움이 있습니다.
x값에 따라 적분할 함수가 달라지니 미적분학의 기본 정리를 적용한 결과물도 달리지기 때문입니다.
그래서 우리는 상황을 단순하게 바라보기 위해 위와 같은 식 조작을 통해 x를 적분 밖으로 꺼내줄 수 있습니다.
어차피 t라는 dummy variable에 대한 적분이고 수능 수학에서 우리는 다변수 함수를 다루지 않기 때문에 위와 같은 생각을 이어갈 수 있습니다.
함수 tf(t)에 대한 적분을 이와 같이 이해해주면
이와 같은 결론에 도달할 수 있습니다. 그리고
첫 예시와 같은 맥락에서 이 또한 알아낼 수 있겠습니다.
선택과목이 확률과 통계 혹은 기하이신 분들을 위해 첨언하자면
g''(x)는 g'(x)의 도함수이며 g(x)의 '이계도함수'라는 말을 쓰곤 합니다.
이제 한 단계 더 나아가봅시다.
이와 같은 상황은 어떻게 다루면 좋을까요?
앞선 'x는 변하기 때문에 적분 밖으로 꺼내주면 편하다'는 생각을 이어가면
이와 같은 식 조작을 해볼 수 있겠고
한 번 더 나아가
라는 정보와
까지 정리해볼 수 있겠습니다.
혹은 g(x)가 다음과 같이 정의되어 있다면
다음과 같은 정리가 가능하겠습니다.
그럼 결론이 나오죠!
추가로 우리가 어떤 함수의 도함수를 구해보는 이유가 주로 도함수의 부호 변동을 조사하여 원함수의 개형을 작성하기 위함인데
임을 이용하면
임을 알 수 있어 함수 g'(x)가 실수 전체의 집합에서 감소하지 않음도 확인할 수 있겠습니다.
2022학년도 6월 20번입니다. 같은 방식으로 접근해봅시다.
먼저 x에 관한 것들을 적분 밖으로 꺼내주고
적분 구간의 길이를 0으로 만들어보고 양변을 미분해보니 이와 같은 결과를 얻을 수 있었습니다.
이제 바로 위 예시였던 상황에서 확인할 수 있던 도함수의 부호에 관한 정보에 초점을 두면
실수 전체의 집합에서 이것이 성립하기 때문에
g'(x)를 구성하고 있는 이 함수는 실수 전체의 집합에서 감소하지 않는 함수임을 확인하실 수 있습니다.
이후 문제 풀이는 더 생각해보시면 좋겠습니다!
2021학년도 수능 나형 21번입니다. 마찬가지로 주어진 함수 g(x)를 정리해보면
를 확인하실 수 있습니다.
그럼 마찬가지로 함수 2x와 함수 \int_a^x f(t)dt의 곱을 해석해 풀이를 이어갈 수 있겠죠!
p.s 내신 대비였다면 '라이프니츠 정리'였나? 해서 이와 같은 상황을 보다 빠르게 정리하는 공식을 알아두면 좋을 수도 있는데... 우리는 수능 수학 공부하고 있으니 거기까지 들어가진 맙시다 ㅋㅋㅋㅋ
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
서바 영어 1
33번 답 2맞음뇨?
-
진짜선넘었네..
-
수시는 최저 맞추기 빡세져서 ㅈ같겠지만 정시는 어차피 등수로 대학 가는건데 밑에서 좀 빠지면 어때
-
악은 합리화된다 1
생존이라는 명분이 의해 합리화된다. 살기 위해 무슨 짓이든 하다보면 악한 짓 또한...
-
사탐런 질문 3
현역이고 언매, 미적, 생지 선택했습니다. 6모 62 92 3 69 78이고 생명은...
-
과탐 목표도 못 이루고 또 안하니까 바로 까먹고 해서 진짜 열심히하던가 포기할려고...
-
중등전교권+수과학영재 고1,2 6등급(겜창) 고3,재수>> 정시 한양대 신소재
-
올해는 아니고 내년에 수능판 복귀할까 고민 중인데 1. 저 상태면 노베라고 보는 게...
-
서울의 자존심! 6
반박 ㄴㄴ 걍 하지마셈
-
D-117 모두들 파이팅!
-
나님 귀환 9
속보)오늘 음주안함
-
그래서 더 열심히 하는 중이에요
-
뭐부터 해야할까요?? 4규4코s2드릴54이해원s1문해전s1 순서대로햇고 이번7모...
-
로시데레볼까 고민되는구만
-
3점이 3점이 아닌거 같은 느낌..? 뭔가 어삼에서 중사까지라는데 왜 어려워 보이지...
-
ㅈㄱㄴ
-
. 4
굿나잇 뽀뽀 쪽
-
한완수 하 2
고2 6모 3등급입니다 한완수 공통 상 중 2회독 했고 지금 공통 하 수12...
-
과외생 질문 안풀고 누워잇다가 이제 풀기시작함 따흐흑
-
반수생 출격 1
학기 초에는 진지하게 공부하려다가 1학기 종강하고도 정신 못차리고 맨날 어영부영...
-
내신 때메 수특 닳도록 보긴함 강민철 커리 타는 중이라 언매책 나왓길래.. 작년에...
-
러셀 4
러셀 처음 가 보는데.. 너무 커서 길 막 못 찾고 하겠지?? 너무 바보같아보이진...
-
7모는 공통은 22빼고는 다 맞았는데 시간 너무 오래걸려서 미적풀시간이 부족하고...
-
는 아님
-
거물이 되셨구나 신기행
-
야식인증 9
배달비까지 1만원 나쁘지않네 가격
-
수시 약대 쓸까 수의대 쓸까 고민 했는데 수의대 쓸려고요
-
저 진짜 흠집 하나 내기싫은데...
-
과탐만 4등급이 사탐런 해야함
-
이제 미적분에서 무한등비급수와 삼도극 활용문제가 안나오나요 그럼 이제 기출이나 n제...
-
. 1
-
사탐런 신기한게 4
분명 1등급은 언제나 4프론데 댓글보면 전부 자기 사탐가서 1등급이래 넷상에서 사탐...
-
...?
-
전 아직 20대라구욧
-
개념양도 적고 문풀도 간단한데다 지엽조차 없는 개꿀과목 화1이있는데 사탐런...
-
리트도 최근에 매년 불리트 아닌가요 다들 화이팅하시길
-
“너도 알고 있잖아 가야지 위로“
-
이 문제 제발..
-
고딩때 내내 여주 생각만 하느라 자기 좋아하던 여자애 고백도 안 받은 놈이 졸업하고...
-
파란노을을 사랑할 뿐
-
요즘 빠른 축에 속함?
-
대학에 목매는 문화가 문제라고 해서 마이스터고를 대안으로 꼽을 수는 없음 0
꼭 뭐 저것의 긍정적인 사례랍시고, 누구는 어디 공고 나와서 삼성전자, 은행, 모...
-
ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
N제 풀 때 3
여백에 푼다 vs 따로 공책에 푼다
-
생명공학 전공이라 생2는 무조건 할건데 지2까지 하는건 좀 에바인가 지금 대학...
-
시대인재 토요일 오후 김백현쌤 강의실 아시는 분ㅠㅠ 3
토요일 점심~저녁 타임 인문논술 김백현쌤 강의실 아시는 분 계신가요ㅠㅠ 어느빌딩...
-
아니 마넌 충전 했는데.
형 나중에 기회되면 절댓값 들어간 것두 설명해줘요! 잘 읽고 가요!
네! 근데 제가 주로 글에서 다루는 것들은 특별한 것이 아니라 교과서에서든 어떠한 자료에서든 유튜브 영상에서든 모두 확인할 수 있는 것이기 때문에.. '이 사람 이야기도 들어봐야지'가 아닌 '이건 어떤 내용이지?'라는 생각이 드시는 다른 분들께서는 구글, 유튜브 등 활용하여 미리 학습해보시기 바랍니다.
라이프니츠 규칙!
고2 때 배웠던 것 같은데 기억 안 나네요 ㅋㅋㅋㅋㅋ
구글에 치면 야무진거 많아용 은근 도움됨
그나저나 무슨 학교였나요ㅎㅎ
경기도에 위치한 한 자율형 공립고등학교 나왔습니다!