무브

오르비

아톰

내 태그

내 태그 설정

입시
학습
생활
클럽
직업·취업
Epioptimus
Centurion

수학복수전공의대생 [1177692] · MS 2022 · 쪽지

2023-07-05 21:48:51
조회수 3,991

참고) 230615를 눈풀하는 엄밀한 방법

게시글 주소: https://iu.orbi.kr/00063649578


메인글 보고 급하게 한 번 다시 써 보겠습니다. 23학년도 6월 평가원 모의고사 15번 문제입니다.

이 문제를 간편하게, 그렇지만 엄밀하게 눈풀할 수 있는 방법이 있습니다.


수열의 생김새를 보면 a2는 a1에 1/(k+1)을 더하고, a3은 a2에 1/k를 뺌을 알 수 있습니다. 여기서 이것이 반복된다고 생각해 볼 수는 있습니다. 


그렇지만 증명하지 않고 넘어가면 제대로 된 풀이가 아니죠.


왜 저렇게 되는지는 매우 간단합니다.



보조정리라 할 것까지도 없습니다. 그냥 통분해서 정리하면 보일 거예요. 

그리고 같은 경우에서


이 성립함은 더 쉽게 알 수 있습니다.


그렇다면 이제 어떻게 할 건지 감이 오시나요?


수학적 귀납법과 비슷한 방법으로 

이라는 사실을 알 수 있습니다. (2k+1)이 수열의 주기의 배수가 된다는 것이죠.


그리고 여기서 구할 수 있는 k가 가능한 모든 k라는 걸 증명하겠습니다.


어렵지 않아요. 그냥 k와 k+1은 서로소임을 기억하면 됩니다. 

그러면 저 점화식에서 (2k+2)번째 항이 1 다음으로 최초로 0이 되는 항임을 알 수 있습니다. 

즉 (2k+1)이 이 수열의 주기라는 것이죠!


(4k+3), (6k+4), (8k+5)... 번째 항이 0이면서 그 항들만 0임을 알 수 있습니다.



제가 풀었을 때(현장은 아니었지만) 이 풀이를 바로 떠올렸습니다.

그렇다면 풀이는 이 정도로 축약할 수 있습니다.


1. 이 수열은 0 이하면 1/(k+1)을 더하고 양수에서 1/k을 빼는 수열이다.

2. 그런데 가능한 모든 경우에 대해 1/(k+1)을 더한 후에는 양수, 1/k을 뺀 수는 음수가 된다.(보조정리 참고)

3. 따라서 이 수열의 주기는 2k+1이다.

4. a_22가 0이므로 (2k+1)이 21의 약수이다.

5. 따라서 가능한 모든 k는 1, 3, 10이므로 합은 14이다.


떠올리기는 쉽지 않지만 생각만 한다면 1분 안에 푸는 것도 무리는 아닙니다.


유익하셨기를 바라면서 마치겠습니다! 좋아요와 댓글 환영합니다!

rare-PDF

0 XDK (+0)

  1. 유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.

수학복수전공의대생 [1177692]

쪽지 보내기

글쓰기
오르비 1317966번째 회원 가입
ddna
1,422,012 건의 게시물이
블록체인에 디지털 공증되었습니다.
901,691
497,321
22,267
574
159

댓글이 많은 글

2025 수능D - 178

오르비 플레이

오르비 RARE

오르비 과외시장
Move
our corporate site
Orbi Class
on-line classes
Atom
educational books & resources
Gae9
humor and fun

© 2000-2024 Move Inc.

orbisoptimus (v17-18f97d)