극한의 보다 엄밀한 표현 (ft. 231114)

엡실론 델타를 수능에서 써야하는 날이 오다니…

뭐 완전히 도입한 것은 아니니까... 그런데 작수 14번 ㄴ 저거 본문 같은 표현 없이 말로만 설명하기엔 뭔가 애매하지 않나요 ㅋㅋㅋㅋ 아무리 생각해도 말로만 '어~ 이러니까 되는 거야~' 하면 공부하는 사람 입장에서 엄밀하지 않다 느낄 것 같은데

저같은경우는 비슷한 5모미적30도 그냥 직관에 의해서 처리하긴 했어요
정확히는 수능에 한하여 너무 당연한 것들은 당연하게 받아들이자는 주의기도 하고

아 그러네요 지난 5모 30번도 따지고 보면 극한을 두 번 씌우는 것이니까

전 그나마 이거는 평균변화율로 찢어서 살펴보면 g(x)를 깔끔하게 표현할 수 있으니까 괜찮다고 느꼈어요

약간 출제자가 극한값으로 정의된 함수의 극한을 물어보는것에 꽂힌듯?

올해 6월이나 9월에도 극한의 극한 나오면 내년 n제부터는 극한의 극한의 극한 물을 듯.. epsilon_1+epsilon_2+epsilon_3 경우의 수 분류 이런 거

엡실론 델타 논법 도입은 지적 유희죠. 3blue1brown같은 곳에서만 봐도 재밌던데.. 일단 저는 이 문제 최대•최소 정리를 이렇게 묻는구나 하고 시험장에서 감탄했었습니다. (ㄱ이 답인것도 포함해서 ㅋㅋ)

저도 최대최소정리나 사잇값 정리, 평균값 정리 같은 ’존재성’을 보이는 개념들은 ㄱㄴㄷ로 이렇게 출제하는 것이 적절할 것 같다는 생각을 해왔어서 작수 14번 처음 봤을 때 인상적이었어요!

엡델은 신이다

아직 1변수 함수 극한 엡델로 보이는 것도 잘 못하겠어요

엡델타 등쟝

오늘 엡델만 2시간은 고민한 듯

감사합니다! 고등학생 때 공부하며 '내가 대학 잘 가면 학습 자료 만들어서 다 뿌리고 다녀야지' 했어서 그런지 과외 자료 만들다 괜찮다 싶은 거 있으면 바로 오르비 같은 입시 커뮤니티에도 소개하고 싶어져요 ㅎㅎ

엡실론 뭐시기는 뭔 말인지 모르겠는데.. 극한으로 정의된 함수의 연속성 확인할 때는 ebsi 해설처럼 일차적으로 함수 설계하고 다시 극한 취하는 것 외에 직관적으로 판단할 수 있는 방법이 없을까요??(우극한의 좌극한? 이런 거,,)

있을 것 같긴 한데 (직관적 파악이 교육과정이 추구하는 바이니) 저는 잘 모르겠어요.. 입실론-델타 논법은 이해하실 필요 없고 아래 쪽에 lim_{x\to a} f(x)= L을 f(a+\epsilon)=L (\epsilon>0, \epsilon
to 0)으로 표기할 수 있다는 맥락만 파악하시면 본문의 14번 ㄴ 풀이 이해에 문제 없을 거예요!!

입실론-델타 논법은 함수의 극한을 직관적으로가 아닌 엄밀하게 정의하는 방법으로 공부하시다 하기 싫으실 때 유튜브에서 영상 몇 개 찾아보시면 흥미로우실 거예요

한참 이해 안돼서 해설도 들어보고 글도 찾아볼 때 https://orbi.kr/00062961626/나는-현우진-수분감-작수-14번-해설이-왜-논란이-안되는지-모르겠음?q=현우진%2014번&type=keyword 이 게시물을 봤는데 이것두 아직 뭔 말인지 잘 모르겠던데 책참님이 말씀하신 거랑 같은 말인건가요??

살펴봤는데 다른 말 같습니다. 저는 각 극한에 대한 오차 범위 (epsilon에 해당) 를 따로 잡아주어 대소 관계를 비교했을 때 극한값이 경우에 따라 다르게 나온다고 생각했고 저 분은 결과적으로 나중에 씌운 극한을 고려하면 된다고 말씀하시는 것 같습니다. 음... 저는 본문의 내용이 가장 엄밀한 풀이라고 생각했고 아래 영상에서도 비슷한 논리로 ㄴ을 지워내는 것을 확인해서 제 생각이 맞다 봤는데 이건 더 고민해봐야할 듯요

https://youtu.be/hnsh2xd2HSM?t=1007

유율법? 맞나

처음 들어본 단어여서 조만간 찾아볼게요

x+는 어찌됐든 x보다 큰 수니까 여기서 좌극한 취해봤자 x보다 클 수밖에 없다는 식으로 풀었는데 맞는 풀이인가요?

t->0+일 때 g(x+t)의 x+t가 어쨌든 x+t>x를 만족하니까 여기서 x->1- 해봤자 x+t>x에 따라 1+t>1로 푸셨다는 말씀 맞을까요?

저도 14번 ㄴ을 평가원이 어떤 생각을 물었고 어떻게 설명하는 것이 올바른지 계속 고민 중이라 섣불리 맞는 풀이다 아니다 말씀드리긴 어려울 것 같습니다. 같이 고민해보아요! 다만 제 주관적인 생각으로는 잘 모르겠습니다. x+t>x에서 양변에 x->1-인 극한을 취하면 함수의 극한의 성질에 따라 부등호에 등호가 들어가 x+t=x인 경우를 고려해야하지 않나 싶네요...

본문에 첨부한 ebsi 해설처럼 범위 나눠 h(x) 직접 작성하고 생각하는 게 교육과정 내 사고 과정으로는 깔끔한 것 같은데 더 고민해볼게요

일단 강대 모 선생님께서는 맞는 풀이라네요

오 그렇군요! 알려주셔서 감사드립니다. 강사 분들마다 설명이 다른 것 같아서 조만간 더 살펴봐야겠어요

애초에 상쇄되는것 자체가 이상한 풀이라고 하심

맞아요 상쇄되는 것은 저도 잘못된 풀이라고 생각합니다. 본문에서 epsilon1과 epsilon3이 일치할 때가 상쇄되는 때인데, 이외의 상황도 발생하기 때문에 '함수 h(x)의 x=1에서의 좌극한은 존재하지 않는다'라고 말하는 것이 ㄴ을 보이는 깔끔한 방법이 아닐까 싶네요..

수학에서 거짓임을 증명하는 방법은 주로 반례를 보이는 방법입니다. 거짓임을 참일 때 처럼 엄밀하게 증명할 이유는 없습니다.

그렇죠 반례 보여 어떤 명제가 거짓임을 보이는 것이 편하긴 합니다. 그런데 작수 14번 ㄴ의 경우 반례를 잡든 뭘하든 하려면 결국 g(x+t)의 x가 1-로 가고 t가 0+로 가는 상황에서의 극한을 조사할 필요가 있는데 여기서 x=1-a 꼴이고 t=a 꼴이기에 1-a+a 인 상황이 되어 논하는 것조차 불가하지 않나 싶습니다.

https://youtu.be/hnsh2xd2HSM?t=1007

이 해설에서도 같은 방식을 따르고 있어 혼란스럽습니다.

ㄷ 선지 판단 과정인데요.

"[-3,1]구간에서 증가하게되면 x=-3을 확인하고 최소를 갖는것을 확인할 수 있고
[-3,1]구간에서 감소하는 함수라면 1에서 최소를 가질텐데, x=1의 오른쪽 왼쪽 극한을 확인할 필요보다는,
*x=1에서 음수의 값을 갖지 않는 것만 확인해도 사실 최소가 없다는 것을 확인할 수 있습니다*

x=1에서 양수가 나오면 밑에 감소하는 함수에서는 x=1의 값이 존재하지 않으므로 최소가 없구나를 이것만으로도 확인할 수 있죠!

그래서 사실 그래프는 보여주기 위해서 그린거고, 극한 중첩도 필요없는 문제라고 할 수 있겠습니다...ㅎㅎ"

라고 전에 23수능 손풀이 올렸을 때 답글을 달았던 적이 있습니다.

즉 극한 중첩으로 볼 이유가 전혀 없는 문제입니다.

즉 x가 1-로 간다 이런걸 따질필요 없이 x=1일때를 따져보면 되는 문제입니다.

아하 이해했습니다! 극한 중첩을 생각할 필요 없이 풀 수 있는 문제였군요..

그렇다면 선생님께서는 본문과 본문에 하이퍼링크처리 된 글과 관련한 극한 중첩에 대해서는 어떻게 생각하고 계신지 여쭤봐도 될까요? [극한 중첩을 고려하지 않는 것]이 평가원의 출제 의도라면 납득이 되는 풀이인데 풀이의 다양성을 추구하는 평가원에서 극한 중첩을 고려하는 것도 분명 확인하고 출제했을 것이라는 생각이 들어요. "굳이 논할 필요가 없다" 입장이신 건가요?

네 만약 저 논지가 참이었고 케이스들을 분류했을 때, 케이스를 전부 증명하기 위해선 극한 중첩이 필요했다면 문제가 될 수 있는 부분이 맞습니다.

그런데 논지가 거짓이고 반례를 하나만 발견하면 되는 부분이기 때문에, 극한 중첩은 교과 범위가 아니기도 한 이유로 '고등학생용 반례'로는 적절하지 않아보이네요...ㅎㅎ

저도 현장에서는 극한중첩 저렇게 풀었는데 나와서 설명하려고 보니까 교과 범위가 아니어서 여러 풀이들을 찾아봤었습니다. 다 저렇게 풀더라구요. 그래서 좀 생각해서 도달한 풀이가 이겁니다 ㅎㅎ

점점 교과외 범위도 자연스럽게 나오긴 하네요

설명해주셔서 감사드립니다!! 교과 외 범위가 자연스레 보이는 이유는 n수생 유입을 의식해서일까요 혹은 기존에 쌍곡선 함수 같은 것을 자연스레 냈던 것과 비슷한 맥락일까요,,

그렇다면 14번 ㄴ을 대학 과정으로 넘겨 엄밀히 설명할 때는 어떻게 해야하는지 고민해봐야겠어요

14번 ㄴ을 대학 과정으로 넘겨 엄밀히 설명해도 단지 위에서 말한 극한 중첩인 상태에서의 반례도 보일수있는 차이가 있다 뿐이지 별 차이는 없어보임다!!

확실히 현우진선생님은 틀린풀이죠 명백히 결론이 상쇄라고 쳐도 그순간엔 상쇄를 외칠 순 없다고 봅니다

제가 생각하기에도 t->0+과 x->1-에서 t와 0 사이의 오차와 x와 1 사이의 오차가 일치하리라는 보장이 없어 상쇄로 설명하는 것은 잘못된 것 같긴 한데.. 제가 직접 현우진 선생님 강의를 확인해본 것이 아니라 확언하기는 어려울 것 같습니다. 오랜만에 고민해볼 거리 찾은 듯해 재밌네요!

제가 이해한게 맞을지 모르겠네요
g(x)를
x>=0일때 2
x<0일때 -2라 할때
lim g(x+t)=h(x)라 하면
t->0-
h(x)=g(x-입실론)으로 볼수있고,
g(x-입실론)은
x-입실론>=0일때 2, x-입실론<0일때 -2로
볼수 있고, 이때의 입실론 값이 0보다 크므로
정의역은 x>0, x=0, x<0 세개로 나뉘어진다.
따라서 h(x)는 x>0일때 2, x=0일때 -2, x<0일때 -2이다
위 문제에 적용해보면
lim g(x+t) 또한
t->0+
정의역이 x+입실론>1, x+입실론<-1
-1<=x+입실론<=1이 되고
마찬가지로 입실론>0이므로
lim g(x+t)=h(x)라 하면
t->0+
h(x)는 -11일때 x
x<-1일때 -x이다. 저는 이런식으로 이해해서
풀었던것같아요!

네! 같게 생각하신 것 같아요
h(x)를 t->0+ 일 때 g(x+t)로 정의하면 x=-1일 때 h(-1)=g(-1+입실론)=f(-1+입실론)이 되고 x->-1-일 때 h(x)는 h(-1-델타) 이므로 g(-1-델타+입실론) 에 따라 어디로 갈지가 달라진다...

그런데 어제 지인선 님께 여쭤본 바에 의하면 이렇게 극한을 동시에 고려하면 안되고 t에 대한 극한부터 생각해 h(x)를 작성한 후 x에 대한 극한을 고려해야하는, '무엇을 먼저 적용하는지'를 묻는 문제라고 말씀해주시더라고요. 그럼 본문의 설명은 틀린 것이 되어서 조금 더 고민해보고 다른 분들과 이야기 나누어 본 후 다시 답 드릴게요!

넵 제가 생각하기에도
g(x)를 x>0일때 2
x<=0일때 -2라 할때
lim g(x+t)=h(x)
t->0+
이때의 h(x)의 정의역은
x+입실론>0, x+입실론<=0
이때의 입실론값이 0보다 커야하므로
h(x)의 정의역을 x>0, x=0, x<0 이렇게
세개로 나눈 이후에 x에 대한 극한을 취하는게
맞다고 봐요

궁금한게 고등과정에서는 엡실론 델타 논법을 안배우는데, 좌미분계수와 같은 표현이 수학적으로 가능한가요? 저는 고등과정에서 미분계수 자체를 평균 변화율의 극한값으로 정의하고,극한값이 존재하기 위해서는 좌극한과 우극한이 같다라는 방향으로 나아간다고 생각해서...

대학 미적분학에서도 직관적으로 극한을 먼저 정의한 후 (한없이 가까워진다) 입실론-델타 논법을 통해 엄밀하게 정의합니다. 1변수 함수일 때는 직관만으로도 충분한데 2변수 함수일 때부터는 이론 상 무한가지 방향에서 극한을 보낼 수 있기 때문에 입실론-델타 논법이 필요한 것이 아닌가 생각하고 있어요.

따라서 좌미분계수, 다시 말해 평균변화율의 좌극한과 같은 표현은 수학적으로 사용할 수 있다 생각합니다! 평균변화율은 두 점 사이의 y증분/x증분을 의미하고 이것의 극한이 한 점에서의 순간변화율, 다시 말해 미분계수가 되는 것이니까요.

실제 고등학교 교육과정에서 미분 가능하다는 것은 미분계수의 존재성, 평균변화율에 극한을 취했을 때 이 극한이 수렴하는 것으로 설명하고 있고 이는 말씀하신 것처럼 좌극한과 우극한이 수렴하고 두 수렴값이 일치하는 상황을 뜻합니다. 엄밀하게 보일 때 입실론-델타 논법이 필요할 뿐 1변수 함수의 극한은 직관적으로도 충분히 이해해볼 수 있기 때문에 현 교육과정대로의 설명에 문제가 있다고 생각하진 않습니다! 약간의 엄밀함이 부족할 뿐?

제가 질문의 취지를 잘못 전달드린듯 싶네요 ㅠ
현 교육과정이 문제 있다 이런 의견은 아니구요... 교육과정 체계에서는 좌미분계수라는 표현이 존재하지 않는데(그냥 평균변화율의 좌극한), 강의나 해설에서는 보통 좌미분계수라고 많이 하지 않습니까? 그런데 교육과정에서는 미분계수를 이미 극한값이 존재하는 경우로 정의하고 있죠. 이 지점이 의문이 되어서 의견을 듣고자 했습니다.

앗 그러셨군요 ㅋㅋㅋ 말씀하신 것처럼 '좌미분계수'라는 표현을 우리가 직접 배우진 않습니다. '평균변화율의 극한'이 수렴할 때 그 값을 '순간변화율' 또는 '미분계수'라 부르는데 이 맥락에서 '평균변화율의 좌극한'을 편의상 '좌미분계수'라고 부르곤 하죠!

미분계수는 '평균변화율의 극한이 수렴할 때 그 극한값'이기 때문에 미분계수에 대해 논한다는 것은 일단 극한이 수렴함을 전제하는 것이라고 알고 있습니다. 그래서 '좌미분계수'와 같은 표현은 우리가 '평균변화율의 좌극한'이 수렴하는지 발산하는지 모를 때 써버리면 말씀하신 것처럼 문제가 될 수 있다고 생각해요.

정리하자면 미분 가능할 때, 다시 말해 미분계수가 존재할 때는 '좌미분계수'라는 표현을 평균변화율의 좌극한을 대체하는 말로 사용해도 '맥락상' 문제가 되지 않지만 미분계수를 조사하는 상황에서는 아직 미분계수가 존재하는지 모르기 때문에 엄밀히 말하면 문제가 될 수 있다고 생각합니다. 공부하시거나 설명 들으실 때는 '좌미분계수'라는 표현 자체를 '평균변화율의 좌극한'으로 받아들이셔도 충분할 것 같습니다! 제가 말씀하신 것을 잘못 이해한 부분이나 더 이야기 나누고싶으신 부분 있다면 답글 달아주셔요

가형기출 킬러에서 이거땜에 좀 빡쳤는데

x 구간별로 함수 세팅 다르게 해놓고 여기다가 다시 t 집어넣고 다변수 극한 꼴 물어보길래

이게 x를 먼저 보고 t를 해석하는지
t를 먼저 보고 x를 해석하는지
강사한테 물어보니깐 지도 뭐 어벙벙 해가지고 ^ㅣ발 ㅋㅋ

x + 극한에다가 t - 극한 취하면 이건 좌극인지 우극인지 ㅈㄴ 아리송

그래서 그냥

일단 x값에 대한 극한이 우선이고 그 다음이 t라고 납득해버림...

언급하신 가형기출 킬러 몇년도 몇 번인지 알 수 있을까요?

교육과정 외의 내용을 이용한 풀이는 학생들 입장에서는 멋있고 간지날 수 있지만 문제출제의 원래 의미를 거스르는, 그러니까 그러라고 만든 문제가 아닌 것 같습니다. 엄밀함을 따지려면 수열의 극한의 기본성질부터 하나하나 증명해야 하는데 그거는 좀 아니잖아요. 고등수학에서는, 특히 극한 파트에서는 엄밀함보다 그래프를 통한 직관적 풀이를 좀 더 지향해주셨으면 합니다.

입실론-델타 논법을 소개한 것은 교육과정 외가 맞지만 확인해보시면 교육과정 내의 풀이입니다. 함수 f(x)의 x=a에서의 미분계수 정의할 때도 x->a 일 때의 극한식도 존재하지면 x-a=h로 볼 때 h->0 일 때의 극한식도 배우잖아요? 그 맥락으로 받아들이시면 될 듯합니다, 안 그래도 이에 대한 설명이 부족하다고 느껴서 오늘 내일 중으로 본문 관련 글을 새로 작성해볼 생각이에요

현역인데, 잠시 고민하던 부분인데 시원하게 뚫어 주셨네요. 감사합니다..

잘못된 설명일 수 있음을 확인했습니다. 231114에서 h(x)의 x=1에서의 좌극한을 다루는 것이 x->1-와 t->0+ / t->2+ 를 동시에 고려하는 것과 다르다고 설명하는 것이 적절할 것 같습니다. 이와 관련해 글 다시 남기고 답글 해둘게요! (아직 고민중, 알아보는 중인 부분입니다)

입델은 신이다

내 사랑 입실론

엡델을 고교과정에 넣어야 한다 !

전 진지하게 고등학교 때 다변수함수 소개해야한다고 봐요, 경제학과만 해도 1학년 들어오자마자 생산함수 배울 때 다변수함수에 대한 이해가 필요하고 (나아가 다변수함수의 극한, 편미분 등) 수확체증/수확불변/수확체감 배울 때 동차함수에 대한 이해가 필요한데 고등학교 때 다루는 내용이 부족한 느낌

대병훈 ㅋ ㅋ

https://youtu.be/r5zNrulBZ9o?t=3491

정병훈 선생님 해설도 이따 일정 끝나고 확인해볼게요!

약연 님 기하 관련 글도 (비록 이해는 못하지만) 항상 잘 보고 있습니다!! 인터넷이 발달한 시기에 태어난 덕분에 내가 소개하고 싶은 것들을 이렇게 시공간의 제약 없이 많은 수험생 분들께 전해드릴 수 있어서 참 기뻐요