확통 잘하는 법
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현 수능 수학의 선택 과목 중 하나인 '확률과 통계'는 확률과 통계로 구성됩니다. 확률은 주로 수학적 확률을 다루며 이를 위해 우리는 경우의 수에 대해 배우게 됩니다. 통계는 말 그대로 통계를 내는 작업에 있어 기본적으로 알아야 할 것들을 배웁니다. 확률 변수, 확률 분포, 표본 평균 등에 대해 배웁니다. 내용을 보나 평가원 기출 문항을 보나 통계는 상대적으로 쉬운 난이도를 갖추고 있고 확통 선택자 분들이 어려워하는 부분은 확률에 해당하는, 특히 '경우의 수를 빠짐 없이 중복 없이 세기'에 해당하는 부분이므로 이에 대한 생각을 공유해봅니다.
이 문제를 풀어보시면 보통 둘 중 하나로 접근하실 것 같습니다.
1. A와 B가 공통으로 가입하는 동아리가 0, 1개인 경우의 수를 구해 더해주기
2. A와 B가 공통으로 가입하는 동아리가 2개인 경우의 수를 구해 전체 경우의 수에서 빼주기
둘 모두로 풀어보시고 답이 30 나오는 것도 확인해보시기 바랍니다.
그런데 각각의 풀이를 전개할 때 우리는 합의 법칙과 곱의 법칙을 자연스레 적용하고 있음을 확인하실 수 있을 거예요. 예를 들어 여사건을 이용하는 두 번째 풀이의 경우 전체 경우의 수를 구할 때 A가 들어갈 거 4개 중에 2개 골라주고 B가 들어갈 거 4개 중에 2개 골라주는 것이니까
라고 떠올릴 수 있을 것이고 둘이 같은 동아리에 들어갈 (2개 겹침) 경우의 수를 구할 때 4개 중에 2개 골라주면 되니까 4C2라고 답할 수 있겠습니다.
사실 이 합의 법칙, 곱의 법칙이라 하는 것은 꽤나 결과론적인 이야기입니다. 다시 말해 우리는 이것들을 적용하기 위한 생각을 이끌어나감에 있어 충분한 설명을 스스로에게 제공할 수 있어야 해요. 이걸 교과서나 수학 공부 처음 할 때 우리가 접하긴 하는데 바로 수형도를 이용하는 것입니다.
이거 아닙니다, 이 맥락에서의 수형도는 알고리즘 공부하실 때 살펴보시고 우리가 원하는 것은 이거예요!
초등학교, 중학교 때나 수학(하) 공부하실 때 봤던 기억이 나면 좋습니다. 다시 말해 모든 경우의 수를 빠짐 없이 중복 없이 세기 위해 직접 모든 경우의 수를 세어보는 것이죠. 근데 그걸 하나하나 하면 조금 슬퍼지니까 약간의 머리를 써서 논리적으로 세어보자는 것입니다. 처음의 문항을 이 방식대로 접근해보면 아래와 같겠습니다.
그럼 구하려는 경우의 수가 30개이며, 그 사건이 발생할 확률은 약 83.3%임을 확인하실 수 있습니다. (수학적 확률 구할 때 분수로 표기하는 것보다 백분율로 나타내는 게 저는 조금 더 재밌더라고요, 직관적으로 얼마만큼의 확률인지 다가오기도 하고)
이렇게 직접 수형도를 그려서 모든 경우의 수를 빠짐 없이 중복 없이 구하는 연습을 하다 보면 자연스레 합의 법칙과 곱의 법칙에 대한 깊은 이해를 갖출 수 있을 것이라고 생각합니다. 이해원 분의 표현을 빌리자면 모든 경우의 수 문제는 사칙연산과 조합으로 해결할 수가 있습니다. 저도 확통 한완수는 아직 공부하는 중이라 확실히 이해한진 모르겠지만 이러한 의미예요.
+: 합의 법칙
-: 여사건
x: 곱의 법칙
%: 원순열, 같은 것이 있는 순열 등에서 몇 개를 한 묶음으로 바라봐야할 때(?)
nCr: n개 중 r개를 순서 상관 없이 구하는 경우의 수
처음 이 말을 접했을 때 순열, 중복 순열, 중복 조합은 어디갔나 싶었는데 중복 조합이야 뭐 조합으로 표현할 수 있고 순열과 중복 순열은 순열과 중복 순열이 무엇인지 공부하지 않은 학생 분들도 곱의 법칙을 이용해 관련 경우의 수 문항을 충분히 해결해볼 수 있기 때문에 모든 경우의 수 문제의 풀이를 사칙연산과 조합으로 설명할 수 있다는 말을 이해하게 되었습니다.
모든 경우의 수 관련 문항을 저렇게 직접 수형도를 그리는 방식의, 모든 경우를 빠짐 없이 중복 없이 구하는 방식의 풀이로 접근하시다 보면 경우의 수를 잘 세는 법과 합/곱의 법칙에 대한 본질적인 이해를 갖추게 되지 않을까 생각하며 이번 글을 마무리해봅니다. 읽어주셔서 감사합니다!
p.s.
그럼 이런 수학적 확률을 구하는 문항의 경우의 수를 셀 때 수형도를 이용해 세려면 어떻게 해야하나요? 이거 가능한가요??
제 선택과목은 미적분입니다^^ 파이팅~~
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라고 말은 하지만 수험 생활을 하며 수능 수학에 대해 연구하는 것이 실력 향상과 그에 따른 성적 향상에 중요하다는 생각을 항상 갖고 있습니다. 따라서 확률과 통계 선택자 분들의 경우 모든 경우의 수 문제들을 직접 수형도를 그려 풀어보시고, 이것에 합/곱의 법칙을 적용하면 풀이가 어떻게 간결해지는지, 이것에 사칙연산과 조합을 적용하면 풀이가 어떻게 간결해지는지, 그럼 이제 모든 것을 적용했을 때 어떻게 해야 shortcut 풀이를 발견할 수 있을지에 대해 고민해보시면 수능 당일 현장에서 압도적인 백분위를 받아내실 수 있을 것이라 생각합니다.
제 선택과목은 미적분입니다^^ 파이팅~~
오류나서 제 댓글에 잘못 달렸나보네여 ㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋ
근데 진짜 계산 실수는 어떡하죠
매 시험마다 29 아니면 30 다 잘 풀어놓고 꼭 어디서 2곱하는 거 써놓고 계산을 안한다거나
그런게 매번 있네요..
저는 그래서 확률과 통계가 현장 한정 미적분과 기하보다도 훨씬 어려운 과목이라고 생각합니다. 미적분과 기하는 풀이의 아이디어를 잘 잡으면 웬만해서는 답이 나오는 구조인데 확률과 통계는 아무리 아이디어를 잘 잡았더라도 한 두 번의 계산 실수로 4점을 잃는 과목이기 때문에 고등학생 때나 지금이나 정말 어려운 문항들을 출제하는 과목이라고 생각해요.
제가 확통을 수능에서 응시해 100점 받은 것이 아니기 때문에 '이렇게 극복하면 된다'와 같은 말씀을 드리기는 어려울 것 같고, 제가 확통 공부하며 느꼈던 몇 가지에 대해서 남겨두겠습니다. (그리 근거가 될 만한 근거는 아니지만 내신은 1등급이었나 전교 1등이었나 하기 때문에 최소한의 남겨볼 자격은 갖추었다고 생각합니다)
1. 평소에 계산 실수를 하지 않도록 주의하자
문제 풀다가 실수 나면 그걸 따로 노트에 적어 보관해둔 상태로 '다시는 이런 실수 하지 말자'라는 말을 내 뇌에 각인시키는 것입니다. 저는 실제로 효과를 봤고 수능 당일 실수는 없었습니다. 12시 10분이 되자마자 '나 수학 다 맞은 듯?'이라고 친구들에게 확신할 수 있던 이유이기도 합니다.
2. 경우의 수 구할 때 들어가는 계산에 의미 부여를 하라
예를 들어 2를 곱하면 왜 곱했는지, 3을 더했으면 왜 더했는지에 일일이 의미 부여를 하며 학습을 이어나가면 생각보다 실수를 줄일 수 있다고 느꼈습니다. 동시에 경우의 수를 세는 것에 대한 전반적인 이해도도 높일 수 있다고 느꼈기 때문에 적용해보시면 어떨까 싶습니다.
평소 곱할 때 왜 곱하는지 더 생각하면서 해야겠네요..감사합니다
하..하하..화이팅입니다!!
결론 경우의 수 안맞으면 하지 마라
전 확통 필수였으면 대학 못 왔습니다
확통 잘하는법 : 수리 통계학 책을 피고...
포아송 분포 ㄷㄷ
결론: 미적을 하자
문항의 난이도: 확<기<미
현장에서의 안정성: 확<기<미
스크랩 했으니까 지우지 말아 주세요…
작수 확통 다 쉽던데.
30 빼고.
30은 진짜 타 문제 대비 해설도 길고 걍.. 유튜브로 해설 보는 데도 암 걸렸음.
확통 모집단이 워낙 ㅂㅅ이다보니, 원점수 퍼주되
딱 한 문제로 문과 중 좀 치는 애들 표점 높이라고 이렇게 출제하는 거 아닌가 싶음.
근거 있는 관찰이네요! 통합 수능 이후 시험지 살펴봐도 8문항 중 23~27번은 거의 주다시피 하고 28, 29, 30 중 n개를 (n=1, 2, 3) 어렵게 내던데 응시 집단을 고려하는 듯 싶어요.
근데 작수는 다시 찾아보니 미적과 기하도 그렇게 크게 어려워보이는 문항은 없네요, 얘네도 확통처럼 2~3개 정도? 2022학년도 예비 시행부터 그랬지만 과거에 비해 미기확을 쉽게 내고 수1수2에 조금 더 힘을 싣는 것 같아요. 그래서 가형 응시자 분들이 요즘 수학 시험지 풀어보고는 '너무 쉽다'라고 말하는 것 같기도 ㅋㅋㅋ
아 미기도 구래요?
기하는 뭐 이미 실수들 다 빠져나가서 확통 모집단 수준 된 것 같고..
역시 허수는 미적하면서 원점수 4점 세이브 했어야 했다..........
암튼 태재대행 저는 응원합니다.
기하는 전문항 직접 풀어보진 않아서 정확히 어디가 할 만하고 어디가 까다롭다고 느꼈는지 말할 수는 없지만 미적분은 확실히 어렵다고 말하긴 어렵지 않나 싶더라고요. 28번은 원의 중심에서 현에 수직이등분선 내려 차분히 분석하면 되었고 30번은 전형적인 합성함수 킬러였기에 두 문항 정도 어려웠을 수 있다 느꼈어요!
응원해주셔서 감사드립니다. 태재대는 분명 큰 가치를 지니고 있다 생각합니다. 다만 저도 걱정이 되는 것은 이게 제2의 미네르바 대학이 아닌 제1의 태재대가 될지입니다. 저는 태재대가 '미네르바 대학이 갖고 있지 않은 강점을 지녔다'라는 말을 책임질 수 있을 것이라 믿고 태재대를 지원하기로 했습니다, 만약 제2의 미네르바 대학이 되어버리거나 '미네르바 대학의 한국판' 수준에서 벗어나지 못하는 모습을 보인다면 차라리 그만두고 미네르바 대학 입시를 준비하지 싶습니다. 합격한다면 1기이기에 위험 부담이 크지만 "한국에 있는 미네르바 대학과 비슷한 구조의 대학" 타이틀을 태재대가 유지할 수 있다면 그 정도의 위험은 감수해도 괜찮지 않을까 생각합니다!
어차피 재입학 카드도 있으니까
한 번 경험해보는 것도 좋다 생각합니다.
1기란 게 사실 깜깜막막이긴 해도 오히려 혜택 몰빨받는 기수기도 해서.
전 연대 어문 가려고 발버둥 중..
어디를 가든, 잘 풀리시길 바랍니다!
감사합니다!! 저도 1기라서 보여주기식으로라도 지원을 충분히 해줄테니 갈 거면 이번에 가보는 게 맞겠다 싶었는데 오늘 점심에 대기업 다니시는 분과 이야기 나눠보니 "첫 해에만 지원해주고 n년 후에 같은 정도의 지원을 해주지 못한다면 그 회사 혹은 주체는 불안정한 것이다"라는 결론에 도달해 [올해 태재대를 가면 좋은 점]을 떠올릴 때 하나로 여기던 1기 지원의 안정성은 조금 내려놓기로 했습니다. 어차피 에세이 준비 중이니 지원은 할텐데 계속 다양한 분들과 이야기 나누어보며 생각 수정해갈 계획이에요!
연대 어문 목표로 하시는군요, 꼭 성공하셔서 후배로 뵐 수 있길 진심으로 응원하겠습니다. 오늘 남은 하루도 파이팅입니다!! 동남아과일여행 님도 어디를 가든 잘 풀리시길 바라고 있겠습니다.
개추를 벅벅