0/0 꼴 극한의 해석 (ft. 로피탈의 정리 증명)
게시글 주소: https://iu.orbi.kr/00062600708
제목이 0/0은 '영 분의 영'이 아니라 '무한소 분의 무한소' 꼴이라고 읽는 것이 더 적절하다고 알고 있습니다. 무한대와 비슷한 느낌의 단어로 받아들이시면 좋겠습니다. 그럼 시작하겠습니다!
이거 극한 어떻게 구할까요?
지금은 (분모)->0 이니 함수의 극한의 성질에 따라 lim를 분배할 수 없습니다.
대표적인 방법은 인수분해나 유리화 등을 통해 lim를 분배해줄 수 있는 상황을 만드는 것일테죠!
이럼 우리가 극한을 처리할 수 있겠습니다.
자 이제 일반적인 상황을 떠올려봅시다.
이러한 상황에서 아래 조건이 충족된다 합시다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
그럼 우리는 분모 분자에 각각 f(a), g(a)를 빼주고
분모 분자를 x-a로 나눠주고
이제 lim를 분배함으로써
주어진 극한이 아래가 됨을 알 수 있습니다.
즉, 앞으로 아래의 세 가지 조건을 만족할 때 우리는 주어진 극한을 분모 분자 각각 미분하고 독립변수 (x) 가 가까이 가는 값 (a)을 대입해주면 되겠습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
이제 로피탈의 정리도 공부해봅시다. 결론부터 말하면 이러합니다.
방금 학습한 식과 굉장히 비슷합니다. 하지만 분모 분자에 위치한 함수의 도함수가 x=a에서 연속이 아니라면 위의 식과 같은 값을 지닌다고 말할 수 없을 수 있습니다. 로피탈의 정리는 아래 조건을 만족하는 상황에서 적용 가능합니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L 이고 g(x)->L (L 자리에는 숫자 0이나 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. x->a 일 때 f'(x)/g'(x)가 수렴
증명은 아래 글을 참고하시면 좋겠습니다.
[칼럼] 로피탈은 교육과정 외가 아니다
증명 잘 보고 오셨나요?
로피탈의 정리를 적용할 수 있는 조건을 정리해보면 다음과 같습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L & g(x)->L (L 자리에는 숫자 0 or 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. f'(x)/g'(x)->k as x->a (단, k는 상수)
처음 극한을 두 가지 방법을 사용해 처리해봅시다.
먼저 조건을 확인한 후 미분계수의 정의를 활용하면
이렇게 될 것입니다.
마찬가지로 조건을 확인한 후 로피탈의 정리를 적용하면
이렇게 될 것입니다.
우리 앞으로 다항함수(수학2)든 초월함수(미적분)든 0/0꼴 극한은 위 두 가지 방법 중 하나로 처리할 생각도 해봅시다!
p.s. 처음에 함수의 극한 맥락에서 나오는 0/0 읽을 때 '영 분의 영' 말고 '무한소 분의 무한소'로 읽자고 했습니다. 이유는 그야...
있어보이니까
.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
읍읍읍읍
-
사탐런 했는데 둘 중 누구 들을까요 노베임 ㅜㅜ
-
라이브 차주부터 합류하려하는데 수업 어떤 스탈인지 자세히 알려주시면 감사하겠습니다...
-
… 예… 오랜만에 들어와서 요새 풀고 있는 알고리즘 코드 하나 올려놓고 갑니다…...
-
군수생 달린다 18
날씨도 좋은데 놀러가고 싶다..
-
덕코 뜯기는 중
-
확실히 효율이 좋다 사탐이..
-
’현정훈‘ ’배기범‘ ’방인혁‘ 뭔가 한글자 한글자에서 임팩트가 느껴짐 이름이...
-
[정오뉴스] 서울시는 오늘 오전 10시 35분 안전 안내문자를 발송해 "북한의...
-
화작:20분 문학:30분(고전소설:8분 현대소설:9분 시+수필형:7분 시:6분)...
-
4규 드릴 전권 이해원1 끝냈는데 하사십이 나을까요 문해전이 나을까요? 문해전은...
-
지방약 버리고 연고공 가는게 미래 보면 더 나을거 같기도 함
-
여러분의 인사이트를 발휘해주세요 치대? 한의대? 약수? 설공? 설경 후 변호사?...
-
머가 맞는 지 모르겠어용ㅁ
-
오래된 생각이다
-
들어간사람도있는데요뭐 ㅋㅋ
-
물리 내신때 한게 있어서 수능가서도 하고 싶습니다. 나머지 과목으로 부담없는 사탐을...
-
500이 아니라 490mL인거 짜치긴한데 뭔가 맥주아닌 맥주감성 나쁘지 않은 듯...
-
히히 똥 발싸 3
발싸 히히
-
사실 평균속도의 원초적 정의는 처음속도 나중속도의 절반값이 아니라(이건 등가속도...
-
추천좀여 자이같은건 좋은데 약간 해설 자체가 너무 구려서 오르비북스나 시대북스에서...
-
하는거맞지?
-
현역애긔 연대식 내신 1.64인데 고대식은 1.52임ㅋㅋㅋ 아 민족고대 최고...
-
지학 도와주세요 2
ㄴ선지 어떻게 해결해야 하나요..?
-
궁금.
-
사자성어를 따로 모아서 공부했나요? 아니면 그때그때 나오는 것만 공부했나요
-
성적 1~2에서 정체기인데 고정1로 올리신분들 어떤 공부하셨나요?
-
기대되는군뇨 미적 해결못하면 재수확정이라 함 달려볼게요 ㅋㅋ 이해원 5일내로 끝내고 설맞이 ㄱ.ㄱ
-
성적인증 3
근데 평균 70정도에 표준편차 12~15면 나쁘지 않은 일반고인가요?
-
사탐 2과목 7월 초에 새로 시작했고 (생윤사문) 국영수 작수랑 비슷하게 나오더라도...
-
타원 단축의 길이 = 2b인데 b만 구함
-
오르비 죽지마 19
ㅠㅠ
-
3등급한테 적당하면 좋겟어요 인강은 도저히 집중이 안돼서 듣기힘듦
-
강k 맛잇네 6
-
전 일요일 놀아버림
-
점심 묵고 사문해야것다
-
살다보면 진짜 왜 저러지 싶을 정도로 표독스러운 사람이 많음 특히 인터넷에 ㅈㄴ...
-
이제 까지 비염걸려서 후각 미각 상실되서 아메리카노 맛도 못느꼈는데 오늘 좀...
-
문뜩든 생각인데 3
인서울은 많이 쳐줘도 상위 20%지 않나? 주변은 인서울 못가면 인생 망한다는...
-
강기분 독서 문학 듣고 있는데 문학은 엄청 좋은데 독서는 저랑 안맞는거 같아서...
-
일도, 구직 활동도 하지 않는 대졸자가 올해 상반기 400만 명을 넘어서면서 역대...
-
형님들 수학 2년 쉬고 뒤늦게 다시 시작하는데 9모 전까지 시발점 수1,2 다...
-
“이러니 BJ 하려고 난리” 믿기 힘든 ‘광경’…62억원 공개 8
[헤럴드경제= 박영훈 기자] “이 정도로 많이 벌줄이야” 아프리카TV에서 가장 많은...
-
8월 더프 볼 계획이었는데 러셀에서 이퀄로 대체해놓으니 볼수가 없네 0
주변학원 홈페이지 들어가도 외부생받는건 없구나 앞에 E붙는건 이번에...
-
둘중 하나 택하면?
-
ㅇㅇ
-
31초부터
-
정답은...
선좋아요 후감상!
앗 참고로 저는 '응꼴'로 읽습니다ㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅠㅠ 저는 그럼 '%꼴'로 읽을래요
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/2020_foolsday/oribi/006.gif)
응꼴잘읽었습니다!
ㅠㅠ 감사합니다
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/orcon/014.png)
결론부 마음에 듭니다 ♡무한소 분의 무한소 꼴.
역시 간지의 학문 수학..
한성은 선생님 어록... 결국 모든 것은 '잘난 체하기 위해 배운다'
항상 잘 읽고 있습니다 감사해요!
감사합니다, 학습에 적절히 활용하셨으면 좋겠습니다!
한성은 현장 수강생이면 개추ㅋㅋ
막줄독해 성공
ㅋㅋㅋㅋㅋ 굿