칼럼12) 그릴 수 있으세요?!
게시글 주소: https://iu.orbi.kr/00062444271
미적분 칼럼을 막 써보고 싶지만... 고3분들은 3모에 집중하고 계실테니 오늘은 비교적 가벼운 주제를 가져왔습니다.
아래 있는 함수 4개 중 몇 개나 "미분없이" 그릴 수 있는지 한 번 체크해보세요! 대부분이 기출된 함수입니다. 관련해서 알아두면 좋을 꿀팁들도 그 아래 적어뒀어요. (3번째 4번째는 꼭 확인해보셔요~...)
1.
다음과 같은 느낌으로 그려집니다.
어떤 함수를 그릴 때, 근을 체크하는 게 최우선사항이죠. sinx가 0이 되는 곳과 x가 0이 되는 곳을 체크해줍니다. x=0에서는 근이 2개인 걸 알 수 있네요.
이 함수가 우함수인 것도 확인이 되어야 합니다. 기함수x기함수= 우함수니까요.
참고로 미분 가능한 우함수는 x=0에서 미분계수가 무조건 0입니다.
아무튼 이렇게 근을 찍어낸 뒤에는 다음 정보를 통해 개형을 그려낼 수 있습니다. y=xsinx에서 sinx 부분은 x가 커져도 -1~1 범위의 값을 가지지만, x 부분은 점점 커지죠. 이에 따라 위 그림처럼 해당 구간마다 sinx가 확대된 느낌으로 그려주시면 되겠습니다.
참고로 이 함수는 기출된 함수입니다.
그냥 수식으로 밀어붙여도 괜찮긴 하지만, 대충 어떻게 생겼는지를 그려냈다면 더 접근이 수월하지 않았을까 싶네요.
답은 5번입니다. 풀어볼 분들은 풀어보셔요!
2.
얘는 다음과 같이 그려집니다.
초록색 직선은 y=x입니다. 점근선이 y=x인 셈이죠.
x가 양수일 때는 y=x보다 아래에서, x가 음수일 때는 y=x보다 위에서 접근할 겁니다. y=x- 1/x을 해석해보면 알 수 있죠. (x가 양수일 때는, x- 1/x은 x보다 살짝 작은 값을 가짐...과 같은 해석이요)
한편 근이 1과 -1임도 알 수 있습니다.
3.
이 예시는 직선과 곡선의 차이함수를 그리는 법에 대해 얘기하고 싶어서 가져왔어요. 참고로 기출된 함수입니다.
답은 586입니다. 풀어볼 분들은 풀어보셔요!
아무튼 얘도 한 번 그려볼게요.
저는 개인적으로 직선과 곡선의 차이함수는 다음과 같이 그립니다. 일단 직선을 먼저 그린 뒤에
얘를 x축이라고 생각하고 곡선을 그립니다.
그러면 얘가 그리고자 한 함수가 됩니다.
저 상태에서 직선을 잡아다가 다시 수평으로 맞춰버리면...
그냥 lnx가 되는 셈이죠. 여기서 x축을 잡아다가 다시 다시 꺾으면...
아까 그린 것처럼 이렇게 되는거구요.
(직선과 곡선이 둘 다 x절편이 1인 상황이라서 꺾어도 x절편은 변하지 않습니다. 원래 꺾었을 때 새로운 x절편은 기존 두 함수의 교점의 x좌표가 됩니다. 차이함수라고 생각하시면 됩니다.)
흠 근데 -1/10이라는 기울기가 드라마틱하지 않아서 뭔가 아쉽네요.
직선 기울기가 -1인 상황으로 바꿔서 설명을 이어가보겠습니다.
직선 y=-(x-1)이 x축이라고 생각하고 y=lnx를 그린겁니다. 이에 따라 그려진 주황색 함수는 y=lnx -(x-1)입니다.
'y축 근처에 가서 왜 짤렸지?!'라 생각하실 수 있는데, 계속 아래로 떨어지는게 맞습니다. y절편은 존재하지 않아요! 그냥 y축과 너무 가까워서 저 프로그램이 표현을 못한 것 같네요.
원래 y=lnx는 기울기가 계속 0에 가까워지잖아요? 점점 x축과 평행해지는 느낌으로요. 그렇지만 점근선이 있지는 않죠.
위에 그린 주황색 곡선 y=lnx -(x-1)는 x축이 직선 y=-(x-1)이라고 생각하고 그린 곡선이므로 기울기가 점점 -1에 가까워져야 합니다. 그렇지만 점근선이 있진 않아요.
이는 차이함수 개념을 이용한 접근인데요, 이 예시 뿐만 아니라 폭넓게 사용됩니다. 나중에 한 번 깊게 다뤄볼게요.
추가해서 알아두면 좋을 점은 곡선에 직선을 더하거나 빼도 볼록성은 변하지 않는다는 사실입니다. 두 번 미분하면 일차항은 어차피 사라지기 때문이죠.
4.
사실 이건 대놓고 '이거 그려봐라' 하진 못할 겁니다. 그렇지만 워낙 많이 나오는 함수라, 그냥 알고 계시는 걸 추천드려요. 관련해서 할 얘기가 두 개 정도 있습니다. 일단 그려보자면...
이런 느낌으로 그려져요.
일단 x가 1보다 작은 부분에서는 음의 무한대로 가는게 자명하죠. 분모와 분자가 다 상황을 그렇게 만들고 있어요.
x가 양의 무한대로 갈 때에는 log가 증가하는 속도보다 x가 증가하는 속도가 더 커서 0으로 수렴합니다. (이 함수가 출제된다면 이건 조건에 주어질 거에요. 아래처럼요)
그 뒤에 미분해서 극값을 찾아보면 x=e일 때 극대가 됨을 알 수 있습니다.
한편 다음 함수도 볼게요.
얘도 미분해서 극대인 x값을 찾아보면 x=e일 때입니다. 밑이 달라졌는데 극값이 계속 e에서 생기는게 신기하죠. 하지만 잘 생각해보면 당연함을 알 수 있습니다.
사실 모든 로그함수는 닮음이에요! 상수배 했을 뿐이죠. 그래서
이 함수는 그냥
얘를 ln2 배 한 것에 불과합니다. 극대가 되는 x좌표가 변할리가 없어요.
한편,
를 그리는 과정을 기울기로 해석해볼 수도 있습니다. 위 함수는 (0,0)과 (x,lnx)를 이은 직선의 기울기를 의미해요. 일단 y=lnx를 그려볼게요.
원점과 이 함수 위의 어느 한 점을 이은 기울기는 증가하다가, 감소하는 양상을 보이겠죠. 최대가 되는 지점은 원점에서 날린 직선이 lnx에 딱 접할 때입니다.
접점의 x좌표는 e이며, 이떄의 기울기는 1/e입니다.
이걸 바로 구하는 법은 아래 링크에 나와있어요!
따라서 함수
는 x=e일 때 극값 1/e를 가집니다.
이와 같이 식을 기울기로 해석하는 것도 종종 쓰입니다. 평가원에 나올 거 같진 않지만, 한 번 생각해볼 가치가 있는 아래 예시를 보실게요.
얘도 단위원 위의 점 (cosx.sinx)와 (-2,0)을 이은 직선의 기울기 함수로 해석한다면, 미분 없이 어디서 극값을 가지는지, 극값은 얼마인지, 개형은 어떻게 그려지는지 전부 알 수 있습니다.
이게 한 주기에요!
주기는 2파이,
x=2파이/3 일 때 극대 1/루트3,
x= 4파이/3 일 때 극소 -1/루트3 이겠네요.
특수각 발견하시면 계산 없이 끝납니다!
준비한 내용은 여기까지입니다. 다음에 또 좋은 칼럼과 자작문제로 찾아뵙겠습니다. 좋아요와 팔로우 부탁드리고,
고3분들은 3월 모의고사 파이팅하셔요!!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
지구에서 280 광년 떨어져 있는 WASP-38b 행성의 날씨를 관측했으며 또한 이...
-
중간고사가 성적에 40퍼 들어가는데 중간고사 50점 만점 기준으로 11점 받았거든요...
-
안먹어봤지만 재료 조합만 봐도 맛있어서 뒤집어질것 같은 느낌이 남 근데 땅콩버터...
-
강윤구t 0
이미지쌤 세젤쉬 수강했고 강윤구쌤 들을려고 하는데 포인트1 들어야하나요?
-
[고1~고3 내신대비 자료 공유] 2025 EBS 수능특강 국영수, 고1 국어, 고2 문학, 독서 분석 문제 배포 0
안녕하세요 나무아카데미입니다. 2025학년도 고1~고3 내신대비를 위해 수능특강...
-
안나오는거 맞나요? 대치에서도 안가르치던데
-
아 온도가 애매하네 여긴
-
독후감이 과제인데 예전에 중학교 교과서에서 배운 독후감 형식이 있었거든요 그...
-
현재 학생들의 중간고사가 끝났고, 곧 학원끊고 과외알아보는 학생들이 많아지는...
-
좀 많이 마셧더니 피곤해죽것네
-
서울대에서 나오는사람들 서울대 아닌사람도있나요??? 4
동기부여하려고 서울와서 서울대도 막 보고있는데, 아니,,, 지금 서울대입구에서 그...
-
총점 1000점중에 50점만 내신반영에 그 50점 중에서도 40점은 기본점수니...
-
수시 포기할까요 7
원래 고려대 언어학과 목표로 해서 고대 내신 2.2까지 끌어 올렸는데 이번에 그냥...
-
재수해도 안오름(이건 장난기빼고 말하는거) 그 시간에 수탐하셈 기출 EBS 말고는 해도 안오름
-
답이랑 풀이가 다른데 제 풀이의 논리적오류가 어딘지 파악이안되네요
-
수특도 그렇고 수완도 그렇고 예고 미술과 학생 한명 데려다가 그려라해도 저거보단...
-
스트레스 너무 받는다,,,
-
재수해도 안오름
-
얼버기 0
-
왈도체가 본인임
-
모의고사 80후반에서 90초반 나오는데 믿어봐부터 들어야 돼요?? 지금까진 동네학원에서 배웠어요
-
안녕하세요 4
작년 반수때 닉으로 돌아갔으요
-
사소한 질문도 제 심심함을 달래줄 수 있습니다
-
수분감? 자이?
-
하지 말라면 하지마셈..
-
전공이 빡세니까 2
한 번 놓치면 끝없이 놓치게 되네요 역시 대학 왔다고 끝이 아닌가봅니다
-
고2이고 영어는 어떻게 공부해야 되는건지 아예 몰라서 질문 드립니다. 아래 글은 안...
-
속보)의대증원 근거 요구에 대통령실 "충분히 낼 것" 5
https://naver.me/FNG571ii 대통령실은 법원에서 의대 2000명...
-
예를 들어 서울대 국문과가 10명을 모집하는데 딱 10명이 지원하면 점수가 매우...
-
피곤하다 1
펜 들기도 힘들어요
-
그렇다면 나는 화1 바이럴을!
-
정시 군은 왜 있는 거임? 정시 지원 실패하면 학교 급이 확 떨어져버림;; 윤도영...
-
높은곳올라갔을때 그느낌이 나서 미치겟음 다른 증상은 없어요 심전도도 정상이라 하셧음
-
교수님들 일반화학 수업하실 때 생윤사문 배운 학생 들 감당가능하세요..?
-
누가 제글에 댓글썻다가 지워서 *회원에 의해 삭제된 댓글"이라고하면 궁금해서 바로...
-
통변을 내놓아라!
-
운동중이라 빵 안먹는데 빵 버리고 띠부띠부씰만 챙길까
-
솔직히 1등급 진짜 쉬운 과목이라고 생각합니다. 모두 정법런으로 합격쟁취하자!...
-
진짜 몇달만에 온듯 없으면 그냥 다시 일하러 감 암거나 ㄱㄴ 선넘질 ㄱㄴ 연세대학교...
-
사람을 행복하게 하는건 돈이 아니라 성취라고 생각해서ㅋㅋ 뭐 인생이 더 낫긴하겠지만...
-
고속버스 13900원 지하철 1400원 학교 이틀만 가니까 한달 13만원 정도야
-
둘다 백분위랑 표점도 잘 나오고 실생활에도 도움이 많이 되는 실용적 과목입니다.
-
처음에 개념할땐 후회했는데 지금은 완전 만족중 수학보다 재밋는듯
-
컴퓨터 - 삼성 데스크탑 모델명 모름 삼성 공홈에서 완성품 삼 2017년~ 폰 -...
-
히히
-
캬
-
ㄱ이 왜 맞는지 모르겠어요 점전하에서의 전위는 거리에 따라 달라지는게 아닌가요??...
-
. 0
뛰었더니 힘들쿤 .. 이제 들어가야지
-
ㅈㄱㄴ
-
Gs 블아 콜라보 24
내일부터 판매한다구함...
무민님 칼럼을 읽을 때면
동의하는 부분이 많아서 좋습니다
갑종배당 님은 기하러이신가요 미적러이신가요??
기하럽니다만
수2에서도 써먹을 수 있고
미적도 독학 경험이 있습니다
아하 그렇군요. 무지성 n제 정말 괜찮아보이던데 저는 미적러라 아쉽습니다 ㅜ
이 본문 내용은 수2 다항함수 버전에서도 충분히 적용 가능한 내용이죠 ㅎㅎ
대학교 가니까 미적분학에서 저 명칭으로 배우더라고요..
경사점근선이라는 표현을 쓰는군요. 직관적으로 와닿네요