내가 확인하려 적어두는 수학 공부에 대하여
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우선 모든 과목, 모든 내용을 공부하는 데에 적용되는 기본 원리는 "내게 필요한 공부를 내가 해야한다."이다. 다른 친구들이 무엇을 공부하고 있는지, 요즘 어떤 자료가 핫한지 등은 참고하면 좋을 것들에 불과할 뿐 '내게 필요한 것'은 아니다. 정확히는 그것들이 내게 필요한지 그렇지 않은지는 내가 객관적으로 판단할 필요가 있다. 메타 인지라는 말이 맥락의 이해에 도움이 될 수도 있을 것 같다. 나는 수학을 공부할 때 다음과 같은 과정을 거치는 게 필요하다고 생각한다, 적어도 내가 공부해온 한국 고등학교 교육과정 내에서는 말이다.
1. 개념 (익숙해지기)
쎈, 개념원리, RPM, 수학의 바이블 같은 대부분의 개념 교재들을 활용하면 좋다. 사실 교과서도 좋긴 한데 솔직히 말하자면 공교육에서 활용하는 자료들보다 사교육에 제공하는 것들이 '지금은' 훨씬 더 좋은 퀄리티를 갖췄을 확률이 크다 생각한다. 이때는 어차피 무슨 내용을 공부하든 웬만큼 머리가 좋은 것이 아니라면 "이게 도대체 무슨 소리지?"가 육성으로 나올 단계이기 때문에 그냥 공부하면 된다. 즉, 무언가를 이해하고 논리를 잡으려는 것도 좋지만 우선은 어떤 내용이 있는지 반복 학습을 통해 기억해두는 것이 필요하다. 어느 분야든 처음은 기억으로 시작한다. 머릿속에 뭐가 있어야 논리를 전개하든 뭘 설명하든 한다. 이러면 또 '그럼 개념만 머릿속에 넣어두면 되나요?'라고 질문하는 사람들이 있을텐데 당연히 문제풀이를 병행해야한다. 앞서 언급한 교재들 중에 문제 수 적은 거 하나도 없다. 다들 '아하 이런 식으로 푸는구나' 정도의 감을 잡을 수 있을 만큼은 문제를 실어두었다.
2. 문제 (익숙해지기)
고쟁이, 올림포스, 올림포스 고난도, 일품, 일등급수학, 마플 교과서, 마플 시너지 등의 대부분의 내신 대비 교재가 여기 속한다. 사실 본인은 내신 3점대라 관련 자료들에 관해서는 잘 알지 못하지만, 내가 언급한 것들의 공통점은 '어느 정도 정형화된 문제들로 손을 수학 문제 풀이에 익게 만들 수 있다.'이다. 나 또한 (비록 결과는 좋지 않았지만) 고등학교 때 내신을 대비하며 다양한 문제집을 접한 경험이 있는데 이때 열심히 손을 움직이고 또 틀리거나 모르겠을 때 조금씩 조금씩 피드백을 쌓아간 경험이 고등학교 3학년 때 폭발적인 수학 실력 향상에 도움이 되었다고 생각한다. 물론 수능 수학 만점이라고 다 수학을 잘하는 것은 아니지만, 그래도 못하진 않을 거 아니냐. 실력 의심은 조금 넣어두길 부탁한다.
3. 개념 (제대로)
내가 인강을 들어본 적이 없어서 아는 게 '한 권으로 완성하는 수학'밖에 없다. 이때는 익숙해진 개념을 다시 한 번 깊게 들여다보며 제대로 이해를 쌓고, 그 과정에서 이제 기억 위주가 아닌 논리 위주의 학습을 시작하면 좋다. 즉, 한완수에서 언급하는 사고과정 검증과 필연성 부여가 스스로의 학습에 개입되면 아주 좋다고 생각한다. 이 과정에서 자연스레 기출 문항을 깊게 학습하며 생각하는 법을 충분히 훈련하면 좋다. 생각하는 법을 충분히 훈련한다는 관점에서 각 정리, 성질의 증명을 직접 해보거나 문항을 만들어보는 경험이 큰 도움이 될 것이다.
4. 문제 (시야 확장)
다양한 종류의 N제, 실모를 활용하는 것이 도움이 될 수 있다. 중요한 것은 계속 새로운 컨텐츠를 접하는 데에만 초점을 두지 말고 항상 개념에 초점을 두어야한다는 것이다. 비유를 섞어보자면, 머릿속에 점차 나만의 단권화 노트를 만들어간다 생각하면 좋다. 혹은 나무를 기를 건데 뿌리는 개념과 기출에 둔 채로 수많은 가지를 n제와 실모를 통해 길러간다 생각하면 좋다. 혹은 메이플스토리 235레벨 지역인 아케인 리버 에스페라의 베이스캠프처럼 본인의 수학 공부의 베이스캠프를 개념과 기출에 둔 상태에서 마치 대적자가 윌을 향해 한 걸음씩 나아가듯 스스로도 n제와 실모를 활용해 수능 수학 만점으로 한 걸음씩 나아간다 생각하면 좋겠다. 물론 이 글을 읽을 분들 중에 메이플스토리 235레벨 이상 캐릭터를 갖고 있는 분이 얼마나 될진 모르겠다는 점에서, 높은 확률로 실패적인 비유가 될 수도 있겠다는 생각을 방금 했다.
5. 내게 필요한 공부를 내가 해야한다.
앞서 언급한 과정들을 유기적으로 생각하며 '내게 부족한 것'이 무엇이고 '내게 필요한 것'이 무엇인지 스스로 생각하려 들어야 한다. 물론 처음에는 고생스러울 수 있는데 모든 일이 그렇듯이 몇 번 하다 보면 익숙해진다. 그렇게 해서 내게 필요한 공부를 이어나가며 개념 복습과 기출 해체와 (기출 분석인데, 해체라는 표현이 조금 더 스스로 무언가를 들여다볼 필요가 있다는 메시지를 전달하는 데에 도움이 될 것 같다 워딩을 이렇게 잡아봤다) 경험 쌓기를 이어가야한다.
뭐 대충 이러한 과정을 거치고 나면 수능 수학을 공부하는 것은 이렇게 말할 수 있을 것 같다.
"하나의 예술 작품을 감상하는 것"
무슨 뜻이냐면 문제 하나 갖고 다양한 풀이를 찾아보면서, 또 내가 발견하지 못했으나 타인이 발견한 풀이를 공부하고 타인이 발견하지 못했으나 내가 발견한 풀이를 공유하며 마치 유물을 발굴하듯 공부해나가면 실력 향상과 그에 따른 성적 향상에 큰 도움이 될 확률이 크다고 생각한다. 개인적으로 고등학교 3학년 학생은 이 예술 작품을 n제나 실모까지 확장하진 말고 평가원 기출에만 국한해도 괜찮다 생각하는데, 어차피 2022학년도 수능부터 출제되고 있는 평가원 문항들은 개념과 평가원 기출 문항들로부터 충분히 학습할 수 있는 요소들로 대부분 쉽게 풀 수 있다 생각하고 또 대부분의 고등학교 3학년 학생들이 평가원 기출도 제대로 음미하지 못한 채로 컨텐츠의 늪에서 허우적대다가 목표 대학 불합격하거나 재수하는 사례를 꽤 봐오고 있다고 생각하기 때문이다. 물론 나도 대단한 사람이 아니고 수능 수학을 주제로 누군가를 가르치거나 누군가에게 조언을 해줄 일이 있을 때마다 관련 자료와 영상을 찾아보는, 그냥 '조금 미리 공부해본' 사람으로서 생각이 든 것들을 적어두는 것이기 때문에 내 생각이 절대적으로 옳다 말하고 싶진 않다. 다만 이러한 말들이 도움이 될 수 있을 것 같고 또 내가 '어디에나 적용가능할 만한' 말을 하길 좋아하는 편이라 그리 틀린 말은 없을 것이라는 생각에 계속 말을 이어가본다.
그리고 당연한 이야기지만 'n제는 언제부터 풀면 좋아요?' 이런 질문은 정말 의미가 없는 질문 중 하나이다. 본인이 필요할 때 풀면 된다. 어느 정도 개념에 익숙해진 상태에서 충분히 문제 풀이양을 확보해봤고 기출 문항도 어느 정도 공부해온 상태라면 가능한 일찍 시작하면 좋다. 다만 나 같은 경우 수능 전날까지도 기출 문항을 충분히 학습하지 못했기 때문에 시중 n제는 거의 접해보지 못한 채 하루에 7시간씩 한완수 위주로 공부하다가 대입을 마쳤지만 다양한 좋은 퀄리티의 사설 문항을 접하는 것은 학습에 큰 도움이 될 수 있다고 생각한다. 물론 이는 이전의 썼던 글들에서 '기출 문항 공부로도 충분하다'는 맥락과 충돌하는 발언은 아니다. '충분하다'와 '하면 좋다'의 어감은 확연히 다르다.
+230323, 문제집으로 단순화해보면 '쎈 -> 마플 교과서 -> 마플 수능기출총정리 -> 한완수 (병행) -> 지인선n제, 지인선 모의고사, 한성은 n제, 한성은 모의고사' 정도가 나의 커리큘럼이라 말할 수 있을 것 같다. 물론 나는 수업 시간 외에 카카오톡 등의 메신저를 활용해 실시간으로 질의응답을 진행하는 것을 강점으로 지니고 있기에 단순히 저 순서대로 책을 공부한다고 실력이 느는 것은 아니고 나처럼 옆에서 설명을 전해주고 질문 있을 때마다 구체적인 설명으로 해결해줄 수 있는 이를 옆에 둔다면 저 순서대로 책을 공부할 때 실력 향상이 원활히 이루어질 수 있다는 뜻이다. 꼭 저 책들이어야 하는 것은 아니고 '기본적인 문항들 -> 조금 어려운 문항들 -> 많은 양의 기출 문항들 -> 사고력 향상과 평가원 기출문항 분석 (병행) -> 다양한 상황 접하기, 실전 훈련'에 해당하는 자료면 상관 없다. 다만 언급한 것들은 내가 수능을 준비하며 활용했거나 현재 과외를 진행하며 활용하는 것들에 한정해 잡아봤다.
+230328 과외를 몇 번 진행하다보니 이제 대충 커리큘럼 아닌 커리큘럼이 잡혔는데 다음과 같다.
개념 접하기
-> 개념 익숙해지기
-> 개념 활용, 문제풀이양 확보
-> 개념 복습, 사고력 향상
-> 개념 복습, 사고력 향상, 경험 쌓기
참고로 각 단계에 사용하는 자료는 이러하다. 실제로 내가 수능을 준비할 때 활용했던 자료 위주로 수업에 활용하기 때문에 주로 인강과 오르비에서 찾아볼 수 있는 컨텐츠를 활용하는 분들과는 조금의 차이가 있을 수 있다.
쎈 (C단계 제외)
-> 마플 교과서
-> 마플 수능기출총정리
-> 한완수
-> 한완수(병행) + n제/실모 (쎈 C단계, ebs 연계교재 (수능특강, 수능완성), 써밋 n제, 지인선 n제 등)
마지막 단계를 추가해보자면 '문항 제작' 정도가 들어갈 수 있겠다. 실제로 나는 한완수를 통해 수학적 사고력을 기르고 고3 6월 쯤 되었을 때 스스로 평가원 기출 문항에서 학습할 수 있던 사고과정을 하나하나 쪼개어 재조합해 이런저런 문항들을 만들어보며 하루를 보냈던 기억이 있다.
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아 그리고 어느 정도 실력이 있는 학생이라면 수학 공부를 마치 놀이처럼 대하는 태도를 가져보려함이 큰 도움이 될 수 있다. 무슨 말이냐면, 나의 과거를 떠올려볼 때, "점심 먹으러 가는 길에 혹은 점심 먹고 다시 공부하러 가는 길에 혹은 잠시 산책하는 동안 머릿속에 수학 문제 혹은 정리 하나를 떠올린 채로 그것을 어떻게 접근할 수 있을지나 어떻게 증명할 수 있을지를 생각해보는 것은 시간 절약도 되고 재미도 있다."와 같은 생각을 지니게 되면 성공이라는 뜻이다. 어차피 사람은 내가 재밌는 것에 끌린다. 공부도 예외는 아니라고 생각한다. 언젠가 봤던 문구 중에 '성공하기 위해서는, 내가 하고싶은 일을 하라. 만약 하고싶은 일이 없다면 지금 하고있는 일을 하고싶어하라. 만약 하고있는 일이 없다면 뭐라도 해보라.'라는 말이 있는데 여기서 두 번째 문장인 '지금 하고있는 일을 하고싶어하라.'라는 말이 나는 수능을 공부함에 있어 참 좋은 표현이라 생각한다. 어차피 공부해서 수능 볼 건데 이왕이면 즐겁게 하면 좋지 않겠는가! 실제로 긍정적인 마인드를 지닌 이가 그렇지 않은 이에 비해 같은 무언가를 투자했을 때 더 좋은 결과를 얻을 확률이 큰 것은 자명하다. 자신감의 효과와 연관지을 수도 있고 멘탈의 유연함과 강인함과도 연관지을 수 있을테다.
현역 수학 100, GOAT
근데 1년만 지나도 잊어버리는 게 많더라구요 ㅋㅋㅋㅋ 대학생 분들 현역 때처럼 수능 푸는 거 보면 신기해요
크으 멋있네요! 수능에 대한 그리고 공부에 대한 그리고 흥미에 대한 생각들이 깊어서 말이죠!여담이지만,책 요즘도 많이 읽으시나요?국어력도 더 느신 것 같아요 글 빨이 장난아니네요! 피케티 느낌(다양한 가능성을 인정하는)도 나구요ㅋㅋㅋ
좋게 읽어주셔서 감사합니다! 책은 전처럼 심심할 때 종종 읽고 있어요. 요새는 '편견없는 뇌'라는 책을 즐겁게 읽고 있어요. 21세기 자본은 어려워서 덮어둔 지 꽤 되었네요 ㅋㅋㅋㅋ
예전부터 쓰신 좋은 글들 많이 읽어왔습니다. 언제나 감사드립니다.
저도 한완수로 재수를 진행중인데, 한완수의 '공부법 시리즈'에서 모든 기출분석에 요구하는 '1. 사고과정 정리 2. 발상정리 3. 개념정리'를 모든 문제에 하셨는지 궁금합니다. 저는 한완기 30개년 기출문제에 한해서 모든 문제를 Notion에 위 3가지 내용을 정리하고 있는데, 책참님은 어떻게 기출을 학습하셨는지 궁금합니다. (확통 선택자입니다!)
저는 사고과정 정리, 발상 정리, 개념 정리를 모든 문제에 대해 했습니다. 그래서 저는 총 문제풀이양이나 활용한 컨텐츠량은 다른 2022학년도 수능 수학 (미적분) 만점자 분들에 비해 훨씬 적을 것입니다. 다만 현 수능 수학은 그렇게 공부해도 (굳이 많은 문제를 풀지 않아도) 충분한 학습을 이룰 수 있다고 생각하기에 저는 지금도 제가 공부했던 방식이 적절하다 여깁니다.
예를 들어 실모 1번 문항은 보통 지수법칙을 활용할 때가 많잖아요. 저는 그럼 사고과정 정리로는 '지수 연산이 나왔으니 밑 통일해서 지수 법칙 써봐야겠다'를 시험지에 적었고, 발상 정리로는 '지수, 로그 연산은 밑 통일'을 시험지에 적었으며, 개념 정리로는 '지수가 유리수/실수일 때 지수법칙'을 시험지에 적었습니다.
이렇게 하면 모의고사 1회분을 풀어도 정리하는 데에 최소 7시간은 걸렸던 것 같습니다. 물론 그렇게 하다보니 남들처럼 많은 컨텐츠를 접하지 않아도 금방 그들의 실력과 준하는 실력을 갖출 수 있었던 것 같습니다.
제가 수능을 준비했던 2021년에는 한완수만 있고 한완기는 없었습니다. 제가 알기로 현재 한완수는 그때 한완수와 거의 일치하며 지금 한완기는 평가원 기출 문항에 외에 교육청/사관학교/경찰대 기출 문항을 활용한 것으로 자료인 것으로 알고 있습니다. 개인적으로는 평가원 기출 문항에 관해 공부법 시리즈의 내용들을 적용해도 충분한 학습을 이룰 수 있다고 생각하나 결국 평가원 기출 문항만 공부하는 것도 평가원에 '편향'되는 것이기 때문에 교사경 문제들에 관해서도 사고과정/발상/개념 정리를 진행함이 어떨까 싶습니다. 물론 저는 언급한 대로 그렇게 했습니다만 만약 시간이 너무 오래 걸린다거나 2022학년도 6월부터의 평가원 출제 시험지들에 있던 문항들과 거리가 너무 멀다 느끼시는 문제라면 건너뛰거나 건너뛰고 나중에 다시 고민해봐도 좋지 않나 생각합니다.
답변이 도움이 되었습니다, 또 이야기 나누고싶으신 부분 있으면 댓글 남겨주세요
긴 답글 감사합니다. 모든 문항에 대해 사고과정 발상 개념 모두 정리하셨다니 대단하십니다!
모든 문제에 대해 3단계를 적용하여 분석하셨다고 말씀하셨는데, 준킬러~킬러 부분을 분석하면서 이 방법이 많은 수학적 성장을 가져다 주었다고 평가하고 싶으신가요?
실제로 한완수를 적극적으로 적용해보신 분의 말씀을 듣고 싶네요!
네, 성장에 관해 말씀드리려면 우선 한완수를 접하기 이전인 고등학교 2학년 말의 저를 떠올려봐야겠습니다. 저는 정형화된 문제들은 반복된 훈련을 거쳐 빠르게 풀어낼 수 있었지만 처음 보는 듯한 타입의 문제들은 전혀 접근하지 못하던 상태였고 문제를 해결하는 공통된 '알고리즘'이 없던 상태였던 것 같습니다. 한완수를 공부하며 세 단계를 익힌 후 접했던 대부분의 문제들에 이를 적용해보며 제가 배운 것은 크게 다음과 같은 세 가지입니다.
1. 특정 조건 혹은 상황이 주어졌을 때 '이렇게 해보면 유의미한 정보를 얻을 확률이 크다' 싶은 선택 파악
2. 문제를 푸는 데 필요한 풀이 과정을 모두 개념으로부터 유도하기, 그것을 머릿속으로 빠르게 돌린 후 정리 활용하기 (곱함수의 미분가능성 등)
3. 실모, n제 등에서 접하는 문항들을 평가원 기출로 회귀하여(?) 공부
다시 말해 수학을 공부하며 얻었던 것들이 한완수를 통해 머릿속에 '단권화'되었다는 표현을 써볼 수 있을 것 같습니다. 이 문제와 저 문제가 다른 것이 아니라 'case 분류'라는 생각 아래에 한 종류의 문제들이었고 발상적이라 느꼈던 문항들도 결국 '도함수와 어떤 함수의 평균변화율이 주어졌다면 평균값 정리를 떠올려보자'라는 상당히 교과서적인 생각 아래에 있었구나 하는 느낌으로요!
저는 한완수를 구매하기 전 오르비 등에서 찾아본 정보를 바탕으로 한완수에 대한 어느 정도의 신뢰가 있었고 구매 후 책 앞부분에 나와있는 서울대 의예과 합격자 분들의 후기를 읽어보며 그 신뢰를 더 강화할 수 있었습니다. 그래서 더 책에 몰입할 수 있었고 단순히 책을 읽고 공부해보는 것보다 더 깊은 것들을 챙길 수 있었던 것 같기도 합니다.
결론은 문제를 풀 때 조금 더 생각 있이 풀 수 있게 되었고 그 결과 2022학년도 수능에서도 '어 이거 봤던 거네'와 같은 사고과정이 아닌 '음 이건 이 개념을 중심으로 만든 문항 같네'와 같은 사고과정을 거치며 안정적인 만점을 받아낼 수 있었다고 생각합니다!
답변 감사드립니다!
2년 정도 공부를 놓아서 개념이 다 지워진 상태인데 한완수+교과서로 공부해도 될까요?
네, 좋다고 생각합니다. 교과서로 기본적인 흐름이랑 내용 파악해두신 후 한완수로 보충하시면 좋지 않을까 생각합니다. 다만 개인적으로 한완수는 개념서보다는 생각하는 힘을 길러주고 평가원 기출 문항을 함께 고민해보기 좋은 자료라고 생각해서 (제가 김청명 님의 학습 상태는 잘 모르지만) 쎈이나 마플 교과서와 같은 자료로 기본적인 문제풀이양을 확보하고 마플수능기출총정리와 같은 자료로 기출문항에 대한 학습을 홀로 진행해본 후 한완수를 공부하는 것이 효과적이지 않을까 싶습니다. 물론 이것은 제 개인적인 견해이며 사람마다, 그리고 학습 상황에 따라 적절한 방식이 다르니 구체적인 방식은 고민해보시기 바랍니다.