[미적 자작 문제] 무리수 e의 정의
게시글 주소: https://iu.orbi.kr/00058891974
사실 이 문제는 '무리수 e의 정의'라는 이름을 붙이는 순간 풀이 과정이 뻔하기 때문에... 숨기는 것이 맞다만 그래도 문제에 이름은 붙여야하니 ㅜ 달았습니다. 어떤 변수 a에 대해 a가 0에 한없이 가까워질 때 (1+a)^(1/a) 꼴이 수렴하는 값을 e로 정의한다는 점을 공부했죠? 이를 단순화해서 바라보면 어떤 극한식에서 밑이 1로 가고 지수가 무한대로 발산하면 e와 관련되었을 것이라는 생각을 해볼 수 있습니다.
여담이지만 [e^x-e^(-x)]/2는 쌍곡선함수 중 한 종류로 sinh(x)로 표기하기도 합니다. 추가로 cosh(x)=[e^x+e^(-x)]/2이며 [sinh(x)]'=cosh(x)와 [cosh(x)]'=sinh(x)가 성립하는 등 삼각함수와 유사한 성질을 나타낸다는 점에서 표기에 sin, cos이 들어간다고 알고 있습니다.
추가로 한국 고등학교 교육과정에서 다루는 6가지 삼각함수의 풀네임은 sine, cosine, tangent, cosecant, secant, cotangent입니다!
+문제 아이디어는 작년에 논술 준비하며 봤던 어떤 문제로부터 얻었습니다! 다시 말해 온전히 제가 떠올린 것은 아니에요
[해설]
lim x->0인 상황에 대해 식 변형만 해볼게요! 핵심은 무리수 e의 정의를 활용하는 것과 초월함수의 극한을 활용하는 것입니다. 우선 '어떻게 무리수 e의 정의를 떠올리냐?'라는 질문에는 '지수함수 꼴 함수식에서 밑이 1로 수렴하고 지수가 무한대로 발산하는 것은 무리수 e를 정의할 때 사용하는 극한식과 같은 꼴이기 때문'이라는 답을 드릴 수 있습니다. 따라서 무리수 e의 정의식 (1+x)^(1/x)를 활용하기 위해 밑을 1+f(x) 꼴로 바라보고 지수에 1/f(x)꼴을 잡는 쪽으로 식을 변형해볼게요!
[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)+2]/2]^[1/sin(2x)]
=[1+x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]^[[1/[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]*[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]/sin(2x)]]
이제 e로 수렴하는 꼴이 나왔으니 지수식을 정리해주면 되는데 삼각함수와 지수함수가 있으므로 sin(x)/x와 (e^x-1)/x 꼴을 띄울 생각을 해볼 수 있습니다, 우리는 초월함수의 극한을 학습한 상태니까요! (함수의 극한에서 lim를 분배할 때 핵심이 내가 아는 극한으로 극한식을 구성하듯 나타내는 것이죠? 수렴하는 걸 알아야 lim를 극한의 성질에 따라 분배할 수 있으니까요!) 따라서 지수의 식을 변형해봅시다.
[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]/sin(2x)
=[x^2+9sin(2x)/x+[(e^x-1)/x-[e^(-x)-1]/x]/2]/[sin(2x)/x]
=[x^2+18sin(2x)/(2x)+[(e^x-1)/x+[e^(-x)-1]/(-x)]/2]/[2sin(2x)/(2x)]
이제 무리수 e의 정의와 초월함수의 극한을 활용하면 [1+x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]^[1/[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2] 부분은 e로 수렴하고 [x^2+18sin(2x)/(2x)+[(e^x-1)/x+[e^(-x)-1]/(-x)]/2]/[2sin(2x)/(2x)] 부분은 19/2로 수렴함을 알 수 있습니다.
따라서 극한값은 e^(19/2), 답은 e^(19/2)
타이핑 했더니 문자들이랑 괄호가 좀 복잡해보이긴 하는데 '무리수 e의 정의'와 '초월함수의 극한'이라는 아이디어만 잡으면 다들 어렵지 않게 값을 구해내실 수 있을 겁니다. 초월함수의 극한 연습하기 좋은 문제라고 생각해요, 물론 식 자체가 복잡해서 수능에는 나오기 힘든 모양이라 생각하고 나와도 논술에 나올 만하지 않나 싶네요 ㅋㅋㅋ
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
그냥 가는거야ㅑㅑㅑㅑㅑㅑ 수학10시간달려ㅕ ㅕㅕㅕㅕㅕㅕㅕ 강기원식공부법 실천 16일차
-
디카프 피셜 다들 개꿀사문합시다 ㅊㅊ: 포
-
오늘 영어 끝 영단어 200 어법2빈칸2
-
정확히 며칠인 줄 알면 그냥 날짜 맞춰서 사유결석 때릴 텐데 언제 퇴원할지 모르니...
-
6월에 사탐런한 재수생입니다 임정환쌤 사문,생윤 커리큘럼 다 따라가면 ebs랑...
-
수학을 달린다 0
2시간 동안
-
6월 화작 표점 최고점(가장먼저 답다시먼 1000덕드림) 2
6월 화작 표점 최고점이 몇점인가요? 찿아봐도 언매만 나오고 화작은없네요
-
어떰 본인이 다니는곳 말해주삼
-
인강은 어떻게 듣지
-
휴
-
강기원 0
이번에 미적 정규반 처음 듣는데 원래 수1은 안하나요?
-
서바 전국이나 풀까
-
먹고 수학 n제 벅벅
-
근데 한편으로는 그게 맞음 연대 프사인데 심란해서 불안하는 글을 마지막으로 남기고...
-
글이ㅜ안 올라옴
-
끼앗호우!!!! 그래서 등급이 한 2 정도 나오고 틀린거 분포가 이러한데 지인선...
-
뇌가 공부 더 하지말라고 외치는데 이거 어케하지
-
혼틈 0
하니
-
아 가기싫다
-
여캐일러 투척. 6
수능 만점 기원 9일차
-
문제20개 해설20개 거의 3~4일을 꼬박 진짜 밥잠검토 돌리면서 오케이 때려도...
-
어제도 오늘도 역시 아침에는 삼각김밥[참치마요]하고 쌍화차가 국룰이지 ㅎㅎㅎ 오늘은...
-
. 0
-
얼버기 1
-
역사상 가장 어려웠던 교육청 수학 22번은 뭔가요? 1
3가지 순서매겨서ㄱㄱ
-
올해 국어 공부를 할 때마다 느끼는 건 내가 국어라는 과목을 오해하고 있었다는거다....
-
칼의기상 6
기상의나팔소리 나를깨우고 우렁찬폭음소리 온겨례를깨우네
-
고2 정시준비하고 있는데 현우진 풀커리 타기엔 시간없나요?.. 2
중학교땐 수학 잘 열심히 했었어서 굳이 도형은 인강은 안들을 생각인데 고등학교와서...
-
7/22 플래너 9
-
궁금합니다. 으외로 마는것같아서
-
얼버잠 0
쿨
-
일단 정시에 대해서 1도 모르는 바보 멍청이 맞지만 그래도 질문해봐요.. 일단 지금...
-
라고 적혀 있습니다 교수님 등짝에 손바닥으로 맞은 상흔도 있고요.
-
취업하고 진급에서 보았을때 차이큰가요??
-
아 진짜 ㅡㅡ
-
새벽 세 시에 막혀서 뒤지는 줄 알았네
-
가성비 좋은 애들이 많은듯... 이번에 노트북 사려고 이것저것 알아보면서, 가성비...
-
늦잠 잤다. 4시부터 공부시작. 오늘은 12시간 하자 3
할 수 있다
-
경영 수업 개많이 들어야지 창업관련수업이 그쪽에밖에 없음 ㅠ
-
얼버기 0
때문에 모기
-
나 6
찐따 좋음 쿨여남 좋음 쿨찐 존X 싫음패버리고싶음
-
그러려면 오르비끄고 자야겠지 모두잘자뽀뽀쪽
-
육수가 질질 2
크아아악 살러줘
-
12~15번, 20~21번 구간에서 시간 줄이고 싶은데 4코 괜찮나요? 지금까지...
-
돈이 없어 3
말라 비틀어져
-
학종 쓸 때 1
생기부에 실제 학문에서는 틀린 내용적 오류가 있어도 되나요?
고급수학러지만 행렬, 극좌표밖에 안 배웠습니다,,
그것은 고수1 고수2해서 해요 쌍곡함수는
고급수학 2도 있나요? 그건 몰랐네요 ㅋㅋㅋ
재미있네요! ^^ 혹시 답은 e^10 인가요? ~~
저는 e^(19/2)가 나왔던 것 같은데,, 다시 확인해보겠습니다!
끄악 죄송해요! 2분의 를 계산하는 걸 깜빡했어요! ㅠㅠ
앗 그럼 옳은 풀이 같네요 ㅋㅋㅋㅋ
다른분들도 풀어보실 수 있게 최대한 숨겨서 여쭤볼게용...
(e) ^ (0 + 9 + 1/2 - (-1/2))로 푸는 것 맞는지요?
네, 그 방식 맞습니다! e의 정의를 활용하기 위해 지수에 어떤 작업을 해주어야 하는지, 미적분에서 다루는 '초월함수의 극한'을 다루기 위해 지수에 만들어질 분수식의 분모 분자에 어떤 작업을 해주어야 하는지를 알아내어 적용하는 것이 출제 의도였습니다
좋은 문제 주셔서 감사합니다 선생님! ^_^
풀어주셔서 감사합니다!
그냥 로피탈 하니까 e^19/2나오긴하는데..대학가서 미분적분학 배웠더니 e정의를 까먹었어요...
e = lim x->0 (1+x)^(1/x)
= lim f(x)->0 [1+f(x)]^[1/f(x)]
아하 식변형 좀 하면 나오긴 하겠네요
교과서적 풀이가 중요한 문제라고 생각해서 오늘이나 내일 중 해설 남겨두겠습니다!