수학 칼럼(7) - 삼각함수 대칭성(수학1)-6월 모평 대비 어썸&랑데뷰 모의고사 탑재

우선 6월 모의평가 대비 배포 모의고사를 존경하는 이투스 정현경 선생님과 함께 제작하였습니다.

6평 대비 어썸&랑데뷰 모의고사 가,나형입니다.

어려운 3점 및 4점 문항들은 기출문항 변형으로만 구성하였습니다. 

그동안 기출을 얼마나 열심히 풀어왔고 분석하였는지 파악할 수 있는지 테스트해 본다는 의미로 시험 쳐 보시길 바랍니다. 물론 6평 대비로도...가형 30번은 6평 범위에 살짝 벗어났지만 중요한 문항이라 배치해 뒀습니다.

어썸 수학 정현경 선생님께 감사함을 전합니다.

그럼 칼럼 시작하겠습니다. 말로 풀어서 설명하면 간단하고 쉬울건데 글로 적어보니 복잡해 보이네요.

코로나19로 인해 2020년 4월에 치러야 할 4월 경기도 교육청 모의고사가 5월 21일 치러졌었죠.

그 시험

2020년 4월 교육청 가형 21번에 관한 이야기를 진행해 보겠습니다.

우선 다음 문제를 보겠습니다.

수학1 문제가 아닌데?

그럼 미적분 문제인가?

풀이를 다음과 같이 한다면 미적분 문제라고도 볼 수 없습니다. [곱을 합차로 고치는 공식이용]

그런데 저는 수학1 과정으로 충분히 풀수 있다고 생각합니다. (n등분한 모든 코사인 합은 0이다는 조건이 있어야 겠네요. 착가하였습니다.ㅜ 벡터의 합이나 합차를 곱으로 고치는 공식을 이용하면 증명할 수 있습니다. 수1과정으로는 홀수 등분일 때가...우선 그렇게 조건을 달겠습니다.)

삼각함수 정의에서 cosΘ, sinΘ는 알고 있습니다. 그것을 단위원의 점에서 x축 까지 거리, y축까지 거리로 생각하겠습니다. Θ의 크기에 따라 양,음은 따지고요.

원주를 n등분한 점을 원주위에 나타낼 때, n의 값이 커질 수록 n등분 하기 어려워 점을 나타내기 곤란합니다.

그래서 그 점을 나타내는 방법부터 체계화 해 보겠습니다.

n이 홀수 일 때와 n이 짝수일 때 원주 위에 점을 찍는 방법은 다음과 같습니다.

n이 홀수 일 때

위에 예를 든 17등분 점들을 직접 그려 보시길 바랍니다.

n이 짝수일 때

위에 예를 든 18등분 점들을 직접 그려보시길 바랍니다.

그럼 각 점들의 대칭성을 이렇게 파악할 수 있습니다.

특히 n이 짝수일 때는 다시 두가지 상황으로 나뉜다는 거...기억하도록 해요.

이런 성질을 이용하면 cos에 관한 다음 덧셈식이 성립함을 알 수 있습니다.

밑에 =1 오타 입니다. =0

위에서 언급했듯이 모든 n등분 된 코사인 합은 0입니다.

sin은 별 의미가 없겠죠...항상 x축 대칭이니 전체합은 0

일부의 합은 계산 불가

이 성질을 이용하면 

cos(0)+cos(2pi/3)+cos(4pi/3)=0

cos(0)+cos(2pi/4)+cos(4pi/4)+cos(6pi/4)=0

cos(0)+cos(2pi/5)+cos(4pi/5)+cos(6pi/5)+cos(8pi/5)=0

cos(0)+cos(2pi/6)+cos(4pi/6)+cos(6pi/6)+cos(8pi/6)+cos(10pi/6)=0

뿐만 아니라

cos(2pi/5)+cos(4pi/5)=-1/2

cos(6pi/5)+cos(8pi/5)=-1/2

cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(6pi/7)=-1/2

cos(8pi/7)+cos(10pi/5)+cos(12pi/7)=-1/2

이 성립함을 알 수 있습니다. n이 짝수일 때는 합이 모조리 0이라서 언급하지 않겠습니다.

그림 글 첫부분에 나온 문제의 풀이는?

여기도 오타네요. 첫줄 =0

입니다.

대칭성 성질만 잘 파악하면 쉬운 문제입니다!!

그럼 문제의 그 문제...4월 학평 21번

이 문제는 sin에 대한 얘기였습니다. 그래서 sin+sin+sin+...은 의미가 없어서 개수에 관한 문제가 되었다 봅니다.

대칭성만 잘 파악한다면 다음과 같이 풀 수 있겠습니다.

ㄱ. 참

ㄴ. (0,1)이 sin값에 포함 되므로  k가 짝수 중 4의 배수인 경우이다. 위 설명의 (3)-②의 특히부부-㉠

따라서 두 자리수 4의 배수는 22개

ㄷ. 

n이 홀수 일 때는 n등분한 점들이

y축에 비대칭, x축에 대칭이고 sin은 각 점에서 x축 까지 거리이므로

x축 위쪽에 5개, x축에 1개 (1,0), x축 아래쪽에 5개 로 총 11개

따라서 n=11

n이 짝수 중 4의 배수일 때는 n등분한 점들이

y축에 대칭, x축에 대칭이고 sin은 각 점에서 x축 까지 거리이고

(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)이 점에 포함되어 있으므로

x축 위쪽에 9개, x축에 2개 (1,0), x축 아래쪽에 9개 로 총 20개

따라서 n=20

n이 짝수 중 4의 배수가 아닐 때는 n등분한 점들이

y축에 대칭, x축에 대칭이고 sin은 각 점에서 x축 까지 거리이고

(1,0) (-1,0), 이 점에 포함되어 있으므로

x축 위쪽에 10개, x축에 2개 (1,0), x축 아래쪽에 10개 로 총 22개

따라서 n=22

이다. 따라서 합은 53(거짓)

이 문제에 대한 변형 문제 Quiz로 내면서 마무리 하겠습니다.

저는 랑데뷰 수학 황보백 선생입니다.