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Daniel Alves [329647] · MS 2010 · 쪽지

2012-08-26 12:03:45
조회수 807

극한이 잊혀져 가네요...(한번 들려서 풀어보세요~)

게시글 주소: https://iu.orbi.kr/0003024863

  일때
극한 의 값은 무엇일까요.....??

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Daniel Alves [329647]

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  • 시테 · 357494 · 12/08/26 12:28 · MS 2010

    0이염?

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  • Daniel Alves · 329647 · 12/08/26 12:32 · MS 2010

    다시 풀어보세여~
    생각없이 풀면 안되요~

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  • 시테 · 357494 · 12/08/26 12:44 · MS 2010

    음 분자는 +1, -1 진동하고 분모가 양의 무한대로 가니깐 0에 수렴하는거 아닌가요? 읭 감이 죽었나 ㅠㅠ

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  • Daniel Alves · 329647 · 12/08/26 14:54 · MS 2010

    에구궁....다시 생각해보세여~

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  • 시테 · 357494 · 12/08/26 15:04 · MS 2010

    혹시 문제를 잘못 내신거 아닌가요 ㅠㅠ lim(n->양의 무한대){(-1)^(n-1)/n}=0 맞을텐데...
    Sn = (k=1)시그마(n) {(-1)^(n-1)/n}
    이렇게 두시는게 맞지 않나요
    첫째 줄 두번째 등호가 성립 안할텐데요
    저는 두번째 것만 보고 풀어놓은 것이고, 님의 원하시는 것은 세번째 것인 듯..

    으아 무지 횡설수설이네요 ㅠㅠ 제가 전하고 싶은 말이 잘 전달되길... 노트와 펜이라면 훨씬 쉽게 설명할 수 있을텐데..

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  • Daniel Alves · 329647 · 12/08/26 15:10 · MS 2010

    에구궁...무슨 말이지는 알겠는데용...
    어떻게든 봐도 맞는 말인뎅....여튼 다시 풀어 보세영..그냥 10까지만 봐도..양수인데

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  • 시테 · 357494 · 12/08/26 15:11 · MS 2010

    윽 좀만 대입해보면 되는거를 너무 쉽게 생각했네요 ㅋㅋ 왜 1, -1/2, 1/3, -1/4, ... 으로 본건지 ㄷㄷ
    그래도 lim(n->양의 무한대)[{(-1)^(n-1)}/n]=0은 맞다고 생각합니다 ㅠㅠ
    답이 자연로그로 나오는걸 보니 문과인 저는 못풀겠군요 ㅠㅠ

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  • 너티키드 · 372675 · 12/08/26 13:15 · MS 2011

    테일러전개 이용하면 ln2이긴 한데 그거말고 더 고등학교 과정에 적합한 플이는 모르겠네요 ㅠㅠ

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  • Daniel Alves · 329647 · 12/08/26 14:55 · MS 2010

    저도 처음에 테일러 급수로 풀었다능...ㅋㅋ

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  • Soha · 387079 · 12/08/26 13:41

    이거 고등학교과정으로 풀 수 있나;

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  • Daniel Alves · 329647 · 12/08/26 14:56 · MS 2010

    인서울 할정도 실력이면 풀 수 있을듯... 잘보면..

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  • 자전종자 · 395780 · 12/08/26 14:00 · MS 2011

    ln(1+x)의 테일러전개식과 아벨의정리를 사용하면 윗분들 말씀대로 쉽게 구할 수 있습니다
    고교과정을 생각해본다면 우선 S_2n을 다시쓴다면( 1+1/2+1/3...1/2n)-2(1/2+1/4..1/2n)이고 정리하면 1/n+1+1/n+2...1/n+n이됩니다 여기서 분자분모 n으로나누시면 많이보던식이 튀어나오고 S_2n-1때도 비슷한방법으로 구하면 답은 ln2

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  • Daniel Alves · 329647 · 12/08/26 14:58 · MS 2010

    대단하시군요.. 아벨의 정리를 생각하시다니..
    고교과정 해설도 좋군요. 정답입니다~
    고교 과정은 아니지만 해설이 하나 더있어요~

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  • Sergio Aguero · 389172 · 12/08/26 17:07 · MS 2011

    문과가 풀 수 있나요??

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  • Daniel Alves · 329647 · 12/08/26 17:29 · MS 2010

    ....마지막 적분 식까지는 구할수 있답니다. ∫(1/x)=lnx 랍니다...

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  • sos440 · 104180 · 12/08/26 17:53 · MS 2005

    사실상 log(1+x) 의 테일러 전개를 이용한 풀이와 동치이지만, 아벨 정리를 피하는 방법으로 다음과 같은 방법이 있습니다:

    임의의 x ≠ -1 에 대하여,

    1/(1+x)
    = (1-(-x)^n)/(1+x) + (-x)^n/(1+x)
    = (1 - x + x^2 - ... + (-x)^(n-1)) + (-x)^n/(1+x)

    라고 합시다. 위 식의 양 변을 0에서 1까지 적분하면,

    log2 = 1 - 1/2 + 1/3 - ... + (-1)^(n-1)/n + ∫_{from 0 to 1} (-x)^n/(1+x) dx

    입니다. 그런데
    |∫_{from 0 to 1} (-x)^n/(1+x) dx|
    ≤ ∫_{from 0 to 1} |(-x)^n/(1+x)| dx
    ≤ ∫_{from 0 to 1} x^n dx
    ≤ 1/(n+1)

    이므로,

    |log2 - S_n| ≤ 1/(n+1)

    을 얻습니다. 따라서 n→∞ 의 극한을 취하면 원하는 결론을 얻습니다. (뿐만 아니라 S_n 과 그 극한값인 log2 사이의 오차도 알 수 있지요.)

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  • Daniel Alves · 329647 · 12/08/26 18:02 · MS 2010

    이 풀이는 어떨지요...1+1/2+1/3+1/4+1/5+....1/n ≒ ln n (큰 n에 대해서...)
    1/(1+n)+1/(2+n)+1/(3+n)+.......1/2n
    ln(2n) - ln(n) = ln2

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  • sos440 · 104180 · 12/08/26 18:06 · MS 2005

    주어진 근사식만으로는 불충분합니다. 주어진 정보만으로는, logn보다 느리게 증가하지만 여전히 무한대로 가는 양들이 있어서 서로 경쟁할 수도 있거든요. 다음의 좀 더 정확한 근사식

    1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n = logn + γ + o(1)

    을 사용하면 되겠네요. 단, γ는 Euler-Mascheroni 상수입니다.

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  • Daniel Alves · 329647 · 12/08/26 18:14 · MS 2010

    아하...조화급수와 로그함수간의 차이로 생기는 마스케로니 상수가 없다면
    제가 쓴 저 조잡한 식은 성립이 되지 않을 뿐더러 n이 적당히 큰수 였다면 저는....망했겠군요...마스케로니 옆에 있는 상수는 무엇인가요

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  • sos440 · 104180 · 12/08/26 18:18 · MS 2005

    Small-Oh 표기법입니다. 어떤 특정한 함수를 가리키는 것이 아니라, f(x) = o(g(x)) 라는 것은 f(x)/g(x) 가 0으로 수렴함을 뜻합니다. 즉, 이 경우 o(1)이라는 양은 n→∞ 일 때 0으로 사라지는 양을 가리키지요.

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