작년 9월 모평 수학B 30번에 대해 질문드립니다.
게시글 주소: https://iu.orbi.kr/0009040957
작년에 몇몇분들이 이 문제가 평균값 정리로 설명될 수 없다고 강조하셨는데
저 같은 경우는 이 문제를 설명하기 위해선 부분적으로 평균값 정리가 필요하다고 생각합니다.
여러분들이 제 풀이가 논리적인지의 여부를 확인해주시고 비판해주시길 부탁드립니다.
우선,
조건 (나)에서 f(x2)-f(x1)>=x2-x1 에서 f(x2)-f(x1)/x2-x1>=-1이 나옵니다. (0<=x1<x2)
이때,
(i) 임의의 x1 (x1은 [0,무한대)구간의 실수)에 대해 lim(x2->x1) f(x2)-f(x1)/x2-x1 = f'(x1)
(ii) 또한, 0<=x1<x2를 만족하는 임의의 x1, x2에 대해 f(x2)-f(x1)/x2-x1=f'(c)를 만족하는 c(x1<c<x2) 가 평균값 정리에 의해 존재하고 c는 [0,무한대)에 속하므로, 모든 f'(c)를 (i)의 f'(x1) (x1은 [0,무한대)구간의 실수)에 대응시킬 수 있다.
(iii) 따라서 f(x2)-f(x1)/x2-x1 (0<=x1<x2)이 나타낼 수 있는 값의 범위는 f'(x)의 [0,무한대) 구간에서의 모든 함수값이라고 할 수 있다.
(iv) 따라서 조건 (나)를 만족시키기 위해선, 모든 [0,무한대)의 x에 대해 f'(x)>=-1이어야 한다.
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ii)에서
c와 x1을 동일시 하셨는데
사실 이게 문제가 되기 때문에 평균값정리를 쓰면 안 된다는 말이 나온 거였습니다.
엄밀하게 따져보면, c는 x1과 x2 사이에 있는 수인데, x1과 x2 사이의 간격을 아주 작게 잡아도 그 사이에는 무한히 많은 실수가 있지요. x1, x2가 실수이기 때문에 그렇습니다.
그래서 c는 x1보다 개수가 적고
따라서 f'(c)가 f'(x1)에 일대일대응을 할 수 없습니다.
그래서 iv)에서 언급했듯 f'(x)>=-1이라고 단정할 수 없게 되는 거고요.
개인적으로는 평균값정리를 써도 무방하다는 생각이 드는 게, 이걸 단조증가로 해석하는 풀이보다 평균값정리로 해석하는 풀이가 더 맞다고 느껴져서 그렇습니다. 교과서에서도 평균값정리를 설명할 때 위 문제의 예시나 설명에 나와있는 문구를 그대로 쓰기도 하고 그래서, 이 문제를 보고 평균값정리를 떠올린 분들이 단조증가를 떠올린 분들보단 훨씬 많았을 겁니다.
물론 수학에 일가견있는 학생들이라면, 또는 엄밀하지 않아서 불안한 학생들이라면 평균값정리로 진행하다가 중단하고 단조증가의 힌트를 찾기도 했을 거고요.
c가 x1보다 개수가 적어서 x1이랑 1대1 대응을 할 수 없다고 하셨는데 어쨋든 간에 임의의 x1, x2 의 경우에 대한 평균값 정리로 인해 도출된 c라는 녀석은 구간 [0,무한대)에 속해 있기 때문에 f'(x)에서 [0,무한대) 에 속한 "어떤" x에는 "무조건" 대응시킬 수 있다는 의미입니다. 엄밀히 따지면 다대일 대응으로 보여지네요.
따라서 어떤 x(0<=x<무한대)에는 대응시킬수 있기 때문에 (i), (ii)에 의해 f(x2)-f(x1)/x2-x1이 가질 수 있는 값의 한계는 f'(x)의 [0,무한대) 에 해당하는 모든 함수값으로 한정지을수 있게 되므로 f'(x)>=-1이라는 결론이 나온 것입니다.
당연히 c가 [0,무한대)의 모든 값에 대응되지는 않겠죠. c랑 x1을 동일시한것처럼 보였던 것은 표현상의 문제로 보이네요.
자세히 다시 읽어봤습니다.
f'(x)의 구간 내 모든 값을 f(x2)-f(x1)/x2-x1이 표현할 수 있다고 하셨는데, lim가 있고 없고의 차이는 큽니다. 일단 lim가 붙었다는 것 자체로 결과값이 확정값이 되는데, f(x2)-f(x1)/x2-x1의 경우 x2가 x1에 한없이 다가가더라도 리미트를 붙인 확정값과 동일할 수는 없습니다. 이는 칼큘러스에서 나오는 엡실론-델타 논법을 알고 계시다면 생각하실 수 있고, 아니면 반례로 y=x^3에서 변곡점의 미분계수를 평균변화율이 표현할 수 없다는 것을 생각해보셔도 됩니다.
제가 수학과가 아니라서 그 부분에 대해 깊이 다루지는 않았습니다. 그렇다면 f(x2)-f(x1)/x2-x1은 f'(x)의 특정 구간내의 함수값을 표현할 수 없다는 것인가요?
네. 그게 핵심입니다.
f'(c)가 f'(x1) 하나하나에 대응은 할 수 있겠지만 그게 f'(c)가 f'(x)의 모든 값을 표현할 수 있다는 뜻은 아니라는 것으로 생각하셔도 될 것 같습니다. 결국 c의 개수 문제로 넘어가게 되고요.
그럼 (i) 에서 lim를 취해서 설명한 f'(x1)의 경우도 표현할 수 없다고 봐야하는거나요? 유튜브에 올라와 있는 일부 인강강사들의 풀이를 보면 (i)로 설명하시는 분들도 꽤 있네요.
i) 자체로는 문제가 없는데, 그 이후의 전개가 논리적으로 오류가 있는 거라서.. 엄밀하게 따지자면 그렇다는 거고요, 처음에 언급했듯이 저는 평균값정리로 해석해서 푸는게 약간의 비약이 있더라도 수능의 입장에서는 단조증가 풀이보다 더 낫다는 생각입니다. 문제의 지표들이 모두 평균값정리를 떠올리도록 유도된 느낌의 문제에요.
이후의 전개가 왜 오류가 있는지 전 아직 이해가 안됩니다. (i)이 맞다고 하면, 이제 임의의 x1, x2에 대해서도 성립하는 지를 봐야하는데, 임의의 x1, x2에 대해 대응하는 f(x2)-f(x1)/x2-x1이 모두 f'(a) (0<=a<무한대) 범위 사이에 있는 것을 보였으므로 전 모든 증명이 완료된 것으로 보이네요. i)에서 리미티 확정값과 f(x2)-f(x1)/x2-x1이 동일 하다고 할 수 있다는 전제하에서요.
f'(x)와 f(x2)-f(x1)/x2-x1이 같지 않음을 보이면 위 증명이 오류가 있다는 것 까지는 이해가 되시죠?
예를 들어 y=x^3에서, x=0에서의 미분계수는 0이지만, 임의의 x1,x2에 대하여 f(x2)-f(x1)/x2-x1은 절대 0이 될 수가 없지요. 즉, f'(x)와 f(x2)-f(x1)/x2-x1은 같다고 단정지을 수 없다는 뜻입니다.
더 엄밀하게 증명하려면 lim를 증명하는 과정부터 시작하면 되는데, lim를 증명하려면 엡실론-델타를 이용해야 하고요. 고등 교과서에 있는 'lim=한없이 다가간다'는 증명하려면 대학 과정을 끌어와야 하니 그냥 저렇게 말로 뭉뚱그린겁니다. 즉, 리미트의 정확한 정의는 고등 교과서에서는 알 수가 없습니다. 그래서 질문하신 분의 논리가 그럴듯해보이지만 엄밀하게 따져보면 틀렸다는 거지요.
1.
ii)에서 f'(x1)과 f'(c)가 같다는 게 아니라 f'(x1)이 있으면 그에 따른 f'(c)가 존재한다 라고 이해했는데 이런 뜻이 맞나요?
2.
만약 맞다면 iii)에서 f(x2)-f(x1)/x2-x1이 (0,무한대]에 있는 모든 실수 x에 대하여 f'(x)가 가지는 함숫값을 모두 가질수 있다는 말이 틀렸다는 겁니다. 이에 대한 수학적인 설명은 바로 위 댓글에 해뒀고, 제 생각엔 하나의 f'(c)가 중복해서 서로 다른 f'(x1)에 대응할 수도 있다는 걸 간과하신 것 같습니다.
또, x2를 임의의 수라고 정했기때문에 f'(x1) 하나에 무한히 많은 f'(c)를 대응시킬 수 있으니 사실 하나씩 대응시키는 건 크게 의미가 없습니다. 게다가 c의 개수가 (0,무한대]에 있는 실수 x의 개수보다 적기 때문에 모든 f'(c)가 모든 f'(x)를 표현할 수 있는 것도 아니고요.
3.
만약 아니라면 f'(x1)과 f'(c)가 명백히 다른 값이기 때문에 이것도 틀린 게 됩니다.