[박수칠] 분산을 (편차)²의 평균으로 계산하는 이유
게시글 주소: https://iu.orbi.kr/0008124321
오늘은 어떤 주제로 글을 쓸까 고민하다가 예전에 봤던
조관 선생님의 포스팅 ( http://orbi.kr/0008006413 )
과 관련된 내용을 써보기로 했습니다.
평균, 분산, 표준편차를 열심히 공부한 학생이라면
한 번 쯤은 해봤을 고민이죠.
——————————————————————
왜 분산은 (편차)²의 평균으로 정의될까?
(편차의 절댓값)의 평균으로 정의하면 안되나?
——————————————————————
(변량)-(평균)으로 정의되는 편차는 변량이 평균보다 큰지, 작은지
그리고 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 지표입니다.
그러다 보니 산포도 계산에 편차를 쓰는 것은 지극히 당연한 일이죠.
하지만 편차의 합은 0이기 때문에 편차의 평균 또한 0입니다.
이 때문에 편차를 제곱해서 0 이상의 값으로 바꾼 다음
평균을 계산하게 되고, 이를 분산으로 정의합니다.
여기서 편차의 제곱 대신,
편차의 절댓값을 쓰면 안될까요?
이를 알아보기 위해
세 변량 a, b, c (단, a < b < c)의 대푯값을 x로 두고
(편차)²의 평균과 (편차의 절댓값)의 평균을 조사해봅시다.
(1) (편차)²의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 x에 대한 이차식임에 주목해서
완전제곱꼴로 변형하면 다음과 같습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 일 때
즉, 대푯값 x가 a, b, c의 평균일 때 최소가 됩니다.
(2) (편차의 절댓값)의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 일차식의 절댓값의 합임에 주목해서
분자로 만든 함수의 그래프를 그리면 다음과 같습니다.
따라서 (편차의 절댓값)의 평균은 x=b일 때,
즉 대푯값 x가 a, b, c의 중앙값일 때 최소가 됩니다.
대푯값 x가 평균일 때 (편차)²의 평균이 최소,
대푯값 x가 중앙값일 때 (편차의 절댓값)의 평균이 최소인 것은
n개 의 변량 에 대해서도 마찬가지입니다.
(3) (편차)²의 평균
따라서 (편차)²의 평균은 일 때,
즉 대푯값 x가 의 평균일 때 최소가 됩니다.
(4) (편차의 절댓값)의 평균
i) n이 홀수일 때
일 때 최소
ii) n이 짝수일 때
x가 구간 에 속할 때 최소
i), ii)로부터
(편차의 절댓값)의 평균은 또는
일 때
즉, 대푯값 x가 의 중앙값일 때 최소가 된다고 할 수 있습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 대푯값이 평균일 때 최소이므로
평균 에 대한 분산을
으로 정의하는 것이 자연스럽다는 것을 알 수 있습니다.
또한 변량 의 중앙값이
일 때
(편차의 절댓값)의 평균
를 '평균편차'라고 하며, 임금 근로자 연봉 분포처럼
변량의 분포가 한쪽으로 치우친 경우에 산포도로 많이 사용합니다.
그리고 대푯값/산포도로 평균/분산(또는 표준편차)을 사용하면
중앙값/평균편차의 조합보다 공식의 변형이 자유롭다는 장점이 있습니다.
덕분에 분산을 { (변량)²의 평균 } - (평균)²으로 계산할 수도 있고,
미분/적분이 상대적으로 쉽죠.
추가적인 장점이 또 있는데
그건 제가 이해를 못해서...
[참고 자료] 기초통계학의 숨은 원리 이해하기 (김권현 저)
[알림] 박수칠 수학 미적분1-적분법 단원 부교재가 업로드 되었습니다.
본교재 문제에 수능/모평/학평 기출 54문제가 추가되었습니다.
다음에 작업할 단원은 미적분2-적분법입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
중간에 깨서 잠도 별로 못잤는데 해가 ...
-
컴 전 기 화?
-
1기2쿨보는중
-
지금 수능 기조에도 N축을 가르칠 필요성이 있을까요? 3
과외생이 내년(2026) 수능을 치는데 N축을 알려줄지 말지 고민되네요...
-
나 깼다 1
ㅇㅂㄱ
-
둘다 예쁨 지금까지 4쌍둥이 같은 중,고등학교 봤는데 예쁘장했음 나만 그럼? 근데...
-
높으신 분들이 중동 공습 미리 알고 빼서 그런게 아닐까 흠터레스팅 아님 망고
-
얼버기 3
-
진짜 잔다 0
내꿈꿔
-
얼버기 0
-
냥이를 죽이면 처벌받고 멍멍이를 죽이고 먹으면 합법
-
잔다 특) 3
잠 안와서 소설 끗까지 다봄 만렙플레이어 첨부터 끝까지 먼치킨이라 호불호 있을 거...
-
작성자 개인주관에 자의적 해석 ㅈㄴ 많네... 아예 위키라고 보기조차 어려운 문서들도 있는듯
-
전 일단 화작->현대소설->독서론+그뒤1개->문학쭉->독서쭉 이렇게 해요 말도...
-
문제 상황이 복잡하거나 변수 사이의 관계가 헷갈려서 문제 자체를 이해 못해서...
-
그 단어 입갤 ㅋㅋ
-
잠이 안와요 2
라면이 땡기는데 먹으면 나중에 후회하겠죠?
-
글리젠이 없네 1
별로 늦은시간도 아닌데
-
...
-
우메 독서 자작 문제 [투자에 대한 기술적 분석 관점] 1
원래 투자(Investment)랑 트레이드(Trade)는 다른거긴한데 그냥 퉁 칠게...
-
취향을 시청자들한테 강요하는 그런...??
-
뭔가 에너지가 떨어지네
-
윤혜정의 개념의 나비효과 문학 3회독 이상하고있고 이해황 결국은 어휘력 3회독...
-
비타민 k같은 지문은 어케푸심? 사실상 생각으로 다 처리를 못하는 것 같은데
-
슈뱅에서는 0
한남 말투 써야지
-
ㅇㅇ
-
집행은못해도 최소한
-
아까 낮에 미국이 레바논에 자국민 대피령 내렸다고 했는데 4
불과 몇시간 후에 중동 전쟁 터졌네 이란 참전만 안 하기를 ㅋㅋ
-
[파이낸셜뉴스]
-
살은 ㅈㄴ 찌는중. 하
-
이 사람이 더 이상유명해지지 않기를 바람 올해만 비인기였으면 좋겠음 근데 내년...
-
졸리다 11
...
-
생윤 사문 고민 4
나는 내신 관리 잘해서.. 최저만 잘 맞추먄 되는 최저러임 내가 가고 싶은 대학은...
-
쩝
-
수퍼도파민나 4
채워줄게 가득히
-
가긴 뭘 가 0
-
지금이라도 기출 돌려야할까요?? 7모는 80이고 엔제 잠깐 멈추고4점짜리 기출 봐야할지 고민중이에요
-
김범준 스타팅블록 공통 수강하셨던 분들 쪽지좀 부탁드려요
-
( 중국 천재 선수를 이기고 금메달 주인공 된 한국 선수가 과거 했던 인터뷰 ) 1
https://www.youtube.com/watch?v=_Er7wQuYPLk
-
고2인데 저는 아직 기출 분석을 다 못 했지만 지금 학원에서는 제가 학원 안 다닐...
-
김치가 없다 사고네ㅜㅜ 고춧가루라도 뿌려서 먹어야지..
-
긴말 안할게요..
-
없나?
-
걍 포기함 3
남은 양 몇시간만에 끝낼수있었으면 진작 끝냈을것..
-
예전엔 무슨 가형 21/29/30 급으로 걸러야할 난이도의 문제가 많았던거 같은데
-
덕코뿌리기
-
능지가 딸려서 수학황분들 도와주셈
ㅋㅋㅋㅋ 오르비스티커 너무 귀여워여
그러니까요... 진짜 예쁘게 잘나왔어요.
그 외에도 확률변수에 대한 적률 적률생성함수 중심적률등과도 관련이 있지 않을까 생각됩니다.
물량공급님 외계어도 쓸 줄 아셨군요.
좀 배워야겠다...
적률생성함수라는 마법의 도구가 있더라구요
찾아보니 학부 확통 과목에서 배웠던 함수네요.
지금 보니 뭔 얘긴지 하나도 모르겠음 ㅎㅎ
최소점이 평균값이기 때문에 제곱을 쓴다는 건 결과론적인 해석이 아닐까요?
제곱을 써야만 하는 수학적 필연성이랄지, 이런게 있으면 좋을 것 같은데요
예를 들어, 정규분포 함수의 식에는 제곱을 이용한 표준편차가 들어가죠. 만약 표준편차를 다르게 정의했을 때 같은 식을 유도할 수 있는지, 그렇지 않다면 왜 그럴 수밖에 없는지 같은 것들 말입니다
본문의 내용은 결과론적인 해석이라기 보다
{ (변량-평균)²의 합 } / (변량 개수)를 분산으로 정의한 이유의
일부라 할 수 있습니다.
근본적인 이유로 들어가자면
{ (변량-대푯값)²의 합 } / (변량 개수)를 최소로 하는 대푯값이 평균이고,
이 평균을 모집단과 표본의 대푯값으로 쓰면 모평균의 가장 합리적인 추정치로
표본평균이 똭~ 나타납니다.
이 부분을 설명하려면 '최대우도추정법'이라는 걸 알아야 하는데
여기서 굳이 설명할 필요도 없고, 저도 잘 모르거든요 ^^;
그래서 '고등학교 수준에서 이 정도 설명이면 충분하겠다'
싶은 선에서 끝냈습니다.
이런 것 보면 아무 호기심 없이 그랬구나...그렇구나...하고 받아들이는 제 자신이 다행스럽네요. 문과여서 여태 통계문제 풀면서 저런 증명이나 원리를 몰라서 틀린 적도 없고 개이득
몰라도 되는 건 이과도 마찬가지입니다 ^^
그냥 궁금해할 수험생들을 위해 정리한거예요~
loss funtion?
손실함수라...
6시그마 교육받으면서 배웠던 건데
갑자기 왜 나올까요? ㅎㅎ
경영쪽 아니고 경제학부 통계시간에 교수님께 배운건데..
추정량과 모수의 차이를 나타내는 함수를 loss function 이라 하지않나요,,? 이거 배우면서 글에 나온 내용도 같이 알게되고 했던 기억이 나서요~
아~ 용어만 같고, 정의가 다른가 봅니다.
제가 배웠던 것은 품질관리쪽에서 손실 비용 계산에 쓰는 함수거든요.
이유식님이 얘기하신 손실함수까지는 공부를 못해봤어요 ^^
저도 맛보기정도만 한 비루한 학부생입니다 ㅠ
댓글 달아주셔서 감사합니다.
헐 신기하네요 이거 궁금했었는데 감사해요ㅋㅋㅋ 오 신기하다 맨날 하필 왜 제곱일까....이랬었는데
제가 기다렸던 반응이 드디어 나왔군요.
감사합니다 ㅎㅎ
절대값을 왜 안쓸까 했는데 쓰는데가 있기도 하군요
그러게나 말이에요.
저도 참고자료 보면서 처음 알았어요~
조만간 책나오면 살건데 박수칠님 글 너무 도움됩니다 모든글 지우지 말아주세요ㅠ
안지울테니 걱정마세요~ ^^