Residual Finiteness
게시글 주소: https://iu.orbi.kr/00069377875
Residually finite: For any nontrivial element $g\in G$, there is a subgroup $G_1$ of finite index in $G$ which does not contain $g$.
Locally extended residually finite (LERF): If for each finitely generated subgroup $H$ of $G$, for any element $g\in G - H$, there is a subgroup $G_1$ of finite index in $G$ which contains $H$ but not $g$.
Theorem A. Let $X$ be a manifold possibly with boundary with a regular covering $\tilde{X}$ and covering group $G$. Then TFAE:
(1) $G$ is residually finite.
(2) If $C\subset\tilde{X}$ is a compact subset, then the projection map $\tilde{X}\to X$ factors through a finite covering $X_1$ of $X$ such that $C$ projects by a homeomorphism into $X_1$.
Theorem B. Let $X$ be a manifold possibly with boundary with a regular covering $\tilde{X}$ and a covering group $G$. Then TFAE:
(1) $G$ is LERF.
(2) Given a finitely generated subgroup $H$ of $G$ and a compact subset $C$ of $\tilde{X}/H$, there is a finite covering $X_1$ of $X$ such that the projection $\tilde{X}/H\to X$ factors through $X_1$ and $C$ projects homeomorphically into $X_1$.
위의 theorem B는 특히 중요한데, 만약 $\pi_1(M)$이 surface group $H$를 포함하고 있고, LERF라면, $M$이 virtually Haken임을 내포한다. 다시 말해서, surface group을 representing하는 immersed surface in $M$이 적절한 finite covering을 취하면, embedding으로 lift가 된다는 것.
자명하게 LERF는 RF보다 강한 조건이다. Theorem A,B는 LERF와 RF의 기하학적인 의미를 담고 있다. 보통 해석할 때, $\tilde{X}$는 universal cover를 염두해둔다. 이 경우, Residual finiteness는 다음과 같이 해석된다:
$\pi_1(X)$ is residually finite if and only if for every compact subset $C$ of $\tilde{X}$, there is some finite cover $X'\to X$ with $C$ projects homeomorphically.
만약 $X$에 어떤 geometric structure가 있다고 한다면, $X$의 sequence of finite covering $\tilde{X}_i$가 있어서, 점점더 그것의 universal cover $\tilde{X}$에 가까워진다, 수학적으로는 Gromov-Hausdorff converge한다고 볼 수 있다. Hyperbolic 3-manifold에서는 이것을 geometric convergence라고 부른다.
Examples
1. $M$: a Seifert fibered 3-manifold then $\pi_1(M)$ is LERF.
2. $M$: a hyperbolic 3-manifold then $\pi_1(M)$ is LERF. (Virtual Haken/Fibered Conjecture)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
맛저
-
15 22 30 다맞고 빙신같은것만 틀렸네
-
오르비의 정상화
-
지금 자기 힘으로 해결할 수 있는 문제인가?를 생각해보세요 할 수 있는...
-
내일은 걍 쉴까 1
요즘어차피그냥자리에앉아서우울해하기만하는데
-
수능접고 몇년동안 안 걸리던 감기를 수능공부하니 또 걸리네
-
D-7 ㄱㅂ 1
이감 파이널 11차 84 총정리 8-2 동사 작년 6,9,11 다 풀어보기 적중예감...
-
지인선모 77 4
왜 다들 쉽다고 하는거지 문제 자체는 정말 감동적인 퀄리티긴 함 16번 왜 틀렸냐고...
-
현강 정답률 보니까 평소보다 씹창나있긴함 독서 문학 언매 군데군데 존나 어려운...
-
빡모 4-1 28찍맞으로 96이긴 하지만 진짜 인생 처음으로 받아보는 수학 점수라...
-
극한 상쇄! 2
존나 열파참 천쇄참월 같은 기술 같아서 존나 멋있음 ㅋㅋㅋㅋ
-
자연상태의 개인은 사회계약시 자신의 모든 권리를 국가에 양도한다. 이게 틀린이유가...
-
56575 2
내 현재실력인듯 분발하자..
-
자신의 오류 가능성을 인정하고 편견과 독선적 사고를 탈피해야 한다고 하네요…
-
근데 왜 자꾸 영어 어렵게 나온다고 호들갑 떠는 거지 4
뭐 있었어요?
-
ㅇㅅㅇㅅㅇㅅㅇㅅㅇ
-
하 ㅈㄴ맛있다ㄹㅇ
-
황금방패와 땅크를 앞세워 여론을 탄압하는 그모습보고 아주깊은 감동을 받았습니다...
-
메가 3
메가커피 메뉴 추천좀
-
현대시 가나다로 나올때… 무조건 하나는 비연계인가요?
우익수