Curl-Div
게시글 주소: https://iu.orbi.kr/00069376678
Curl-Divergence lemma라고 함수열의 수렴에 대해서 이야기 하는데 희한하게도 Curl과 Divergence에 bound를 주는 것을 가정으로 하고 있다. 직관적으로 이게 어떻게 연관되어 있는지 잘 와닿지 않는데, 일단 statement 먼저 보자.
The Curl-Div lemma. Suppose $u_m\rightharpoonup u, v_m\rightharpoonup v$ weakly in $L^2(\Omega;\Bbb R^3)$ on a domain $\Omega\subset\Bbb R^3$ while the sequences $\operatorname{div} u_m$ and $\operatorname{curl} v_m$ are relatively compact in $H^{-1}(\Omega)$. Then for any $\varphi\in C^\infty_0(\Omega)$ we have
$$\int_{\Omega}u_m\cdot v_m\varphi dx\to\int_{\Omega}u\cdot v\varphi dx$$
as $m\to\infty$.
여기서 나오는 $\cdot$ 은 Euclidean space에서의 내적을 의미한다. Statement의 의미를 다시 말하면, 미분에 bound를 줘서 nonlinear expression 의 weak continuity를 얻어내는 것이다.
이걸 differential form의 언어로 바꿔서 표현을 하기 시작하면, 이 curl과 div에 boundness 조건을 주는 것이 weak convergence에 어떤 영향을 주는지 좀 더 직관적으로 드러난다.
$M$을 closed oriented smooth $n$-manifold라고 하자. 이제 $u_m\rightharpoonup u, v_m\rightharpoonup v$ in $L^2$ such that $(d^* u_m), (dv_m)$ 들이 $H^{-1}$에서 relatively compact라고 하자. 이 조건은 위의 Curl-Div lemma에서 Curl과 Div의 relative compactness와 대응된다. $u_m, v_m$을 $u_m - u, v_m - v$로 바꿔서, $u = 0, v = 0$으로 가정할 수 있다. 그러면 Hodge decomp.에 의해,
$$u_m = da_m + d^* b_m + c_m,$$
$$v_m = df_m + d^* g_m + h_m,$$
where $c_m,h_m$ are harmonic 1-forms and $a_m \rightharpoonup 0, b_m \rightharpoonup 0, f_m \rightharpoonup 0, g_m \rightharpoonup 0$ in $W^{1.2}(M)$, $c_m \rightharpoonup 0, h_m \rightharpoonup 0$ in $L^2(M)$ 이런 것을 얻을 수 있다.
Hodge decomp.의 consequence중 하나가 $M$위에서의 space of harmonic 1-form들의 공간은 locally compact이다. 따라서, smooth하게 $c_m \to 0$, $h_m \to 0$ 된다. 또한 가정에 의해서 $\Delta a_m = d^* u_m, \Delta g_m = dv_m$이 $H^{-1}$에서 relatively compact이기 때문에, $(da_m),(d^* g_m)$은 $L^2$에서 precompact하게 들어가있다. 따라서,
$$u_m = d^* b_m + o(1),\quad v_m = df_m + o(1),$$
in $L^2$가 된다. 또한,
$$\langle u_m,v_m\rangle_g \omega_g = \ast (\langle d^*b_m, df_m\rangle_g) = (d\ast b_m)\wedge df_m = d((\ast b_m)\wedge df_m),$$
임을 알 수 있다. 여기가 그 "미분"의 모습이 드러나는 핵심적인 부분이다.
구체적으로 말하진 않겠지만, Rellich theorem 이라는 것이 있는데, 이것은 $b_m\to 0$ in $L^2$임을 imply한다. 따라서
$$\int_M \langle u_m,v_m\rangle_g\varphi\omega_g = \int_M d((\ast b_m)\wedge df_m)\varphi + o(1) = (-1)^n \int_M (\ast b_m)\wedge df_m\wedge d\varphi + o(1) = o(1).$$
따라서 앞선 Curl-Div lemma와 같은 결론을 낸다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
제 아이디 입력해주시면 추천해주신 분과 제게 모두 만원권이 증정된다고 합니당 아이디...
-
안녕하세요! 11월 6일 입니다. 다들 수능 잘 준비하고 계실거라 믿어요!!! 정말...
-
지금부터는 3
지금부터는 ㅈ
-
옆반 가서 티비로 보는건가여
-
음악에서 공자 순자 묵자 정도로 나오잖아요 (김종익T가 맹자는 음악쪽은 안나온다해서...
-
무서워.....
-
한번이라도 저는순간 제시간안에 못푸는데 만점은 걍 사람이 아닌듯...
-
일단 수능목표 1
국어 - 과학•기술, (가)(나) 보기지문 버리고 다 맞추기 수학 -...
-
3회차만풀어야하면 어떤회차가좋나요??
-
달리고싶은데 1주일 남았네 무휴반은 사람이 할짓이 아닌듯
-
신기하네
-
7일 불태우고 1
한강가야지
-
말이 안되는데
-
트럼프 되겠네 4
트황 진짜 씹간지네...
-
작수나 올해 6,9월때 체감 되셧나요? 수특수완 보긴 햇는데 엄청 오래돼서 지금은...
-
이좆같은입시판을올해떠나는데실패하겠구나 군대갔다와서좆소취업해야하나
-
보통 2점, 쉬운3점 정도 문항은 사설 컨텐츠 난이도로 따지면 어느정도 될까요?...
-
독서랑 비슷한가
-
제발 오만하지말기
-
제가 쌍윤하는데 사탐도 사설실모랑 평가원이랑 결이 다른가요? 기출, 수완, 수특은...
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.