미분에 대하여
게시글 주소: https://iu.orbi.kr/00068035680
오랜만에 공부 얘기 좀 써 보려고 합니다.
제목 그대로 미분에 대해서입니다. (제가 제목 짓는 센스가 없어서...ㅋㅋ;;)
“미분계수란 무엇인가요?”라고 물으면 아마 “접선의 기울기”라고 대답하겠죠?
맞는 말이긴 하지만, 제 경험에 비추어 보면, 여기서도 찝찝함이 조금 남습니다.
“왜 접선의 기울기를 궁금해하지? 애초에 미분은 왜 하는 걸까?” (궁금해하세요.)
이 물음에 대한 저의 답을 이야기하고자 합니다.
우리가 모르는 함수 가 한 점
를 지난다고 합시다.
이 정보만을 갖고 우리가 에 대해서 무엇을 더 알 수 있을까요?
우리가 정확히 알 수 없는 때로는 복잡하고 때로는 추상적인 이상한 함수라도 우리는 이 함수를 알아야만 한다고 합시다.
결국 우리는 이러한 함수를 우리가 “통제하고 다루기 쉬운 꼴”로 “근사”해야 하겠지요.
여기서 두 가지를 명확하게 해야 합니다.
1. 우리가 통제하고 다루기 쉬운 꼴은 무엇인가?
2. 어떠한 근사가 좋은 근사인가?
우리가 통제하고 다루기 쉬운 대표적인 꼴은 "선형", 일차함수가 될 것입니다.
즉, 우리는 미지의 함수 를 아주 좋은 일차함수로 선형근사하고자 합니다.
그렇다면 어떠한 직선이 좋은 근사가 될 수 있을까요?
함수 가 점
를 지난다는 조건에 의하여 기울기가 미지수인 직선을 생각해 봅시다.
그러면 원래 함수와 당연히 오차가 생기겠지요. 그 오차를
라고 합시다.
아래 그림을 보면, 점와 멀어질 수록 일반적으로 원래 함수와의 차이는 커질 수 있겠지요.
하지만 에 가까워질 수록 그 차이는
의 값에 상관없이 항상 0에 수렴하게 됩니다.
그럼 여기서 가 어떠한 값을 가져야 차이가 0으로 가장 빠르게 줄어들 수 있을까요??
위의 두 번째 물음인 좋은 근사에 대한 답이 바로 다음과 같습니다.
좋은 근사 = 원래함수와 선형근사시킨 직선의 오차가 가장 빠르게 줄어들도록!
직관적으로, 오차가 줄어드는 속도가 가장 빠른 직선이 가장 좋은 선형근사라고 할 수 있겠습니다.
이제 우리는 오차가 가장 빠르게 줄어들도록 직선의 기울기를 결정해야 합니다.
이때 0으로 줄어드는 속도가 빠르다는 것은 극한의 언어를 빌려와서 설명할 수 있습니다.
똑같이 0을 극한값을 갖더라도 함수식이 갖는 인수의 개수가 더 많을수록 더 빠르게 0으로 수렴할 수 있겠지요? (조금 더 엄격하게, big O notation, little o notation을 통해 설명해야겠지만 넘어갑시다.)
0이 되는 인수를 하나 제거하더라도 여전히 0으로 줄어든다면 속도가 더 빠르다고 할 수 있겠습니다.
이것을 수식으로 옮겨 적으면 다음과 같겠네요.
우리가 찾은 기울기가 다음과 같게 됩니다!
우리는 위 극한값이 되는, 선형근사시킨 직선의 기울기를 "미분계수"라고 부르기로 약속한 것입니다.
그리고 이렇게 선형근사시키는 행위를 "미분"이라고 약속하며,
이런 최적의 선형근사가 가능하다면, 즉 위의 극한이 존재한다면 우리는 "미분 가능"하다고 부릅니다.
긴 글 읽어주셔서 감사하고, 여러모로 조금이나마 도움이 되셨길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋아요 0 답글 달기 신고
-
좋아요 1 답글 달기 신고
-
"영역 전개." 0
평가원 허리를 잘라버릴 핀셋 술식 ON
-
[서울=뉴시스] 최윤서 인턴 기자 = 자신의 아들 휴대전화를 바로 찾아주지 않았다는...
-
대성에서 하란대로 했는데 오답률top5옆에 +버튼이 안뜨고 화면이 잘림..
-
수학 기출 좀 풀어볼까하고 예전에 본 모의고사 문제 풀어봤는데 0
풀어보지도 못한 문제라 오답 하기 싫게 생겨서 그냥 냅뒀는데 뭔가 다 풀기 싫게...
-
올해 수능부터 '온라인원서' 허용…우체국 소포 분실 3일내 배상 1
전기차 급속충전기 2배 이상으로 확대…임산부 KTX 운임 40% 할인...
-
러시아! 라샤! 뭔가 군대노래 같았는데 밈처럼 쓰이는 것 같았음
-
생윤 킬러? 2
-
6모 50, 7모 47 받았습니다 고정 50 원하는데 어떤 강좌나 교재가 좋을까요?
-
유빈 아카이브에 제 모의고사가 올라왔다는 제보를 받았습니다. 원래는 아예 올리지...
-
6모 50 , 7모 47 받았는데 도움 많이 될까요? 고정 50 원해서.. 아니면...
-
ㅈㄱㄴㅈㄱㄴㅈㄱㄴ
-
여기에 이런거 적는게 참 그렇긴한데..혹시 몸캠피싱 당해보신 분 있으신가요? 쪽지 주셔도 되구요
-
현자의돌은 커리가 어떻게 되는지 모르겠네요 김종익 풀커리 타고있는데 뭔가 생윤 잘모르겠네요
-
퀄 ㅅㅌㅊ 인가요?
-
디카프 피셜 다들 개꿀사문합시다 ㅊㅊ: 포
-
오늘 영어 끝 영단어 200 어법2빈칸2
-
정확히 며칠인 줄 알면 그냥 날짜 맞춰서 사유결석 때릴 텐데 언제 퇴원할지 모르니...
-
6월에 사탐런한 재수생입니다 임정환쌤 사문,생윤 커리큘럼 다 따라가면 ebs랑...
-
수학을 달린다 1
2시간 동안
-
6월 화작 표점 최고점(가장먼저 답다시먼 1000덕드림) 2
6월 화작 표점 최고점이 몇점인가요? 찿아봐도 언매만 나오고 화작은없네요
-
어떰 본인이 다니는곳 말해주삼
-
인강은 어떻게 듣지
-
휴
-
강기원 0
이번에 미적 정규반 처음 듣는데 원래 수1은 안하나요?
-
서바 전국이나 풀까
-
먹고 수학 n제 벅벅
-
근데 한편으로는 그게 맞음 연대 프사인데 심란해서 불안하는 글을 마지막으로 남기고...
-
글이ㅜ안 올라옴
-
끼앗호우!!!! 그래서 등급이 한 2 정도 나오고 틀린거 분포가 이러한데 지인선...
-
뇌가 공부 더 하지말라고 외치는데 이거 어케하지
-
혼틈 0
하니
-
아 가기싫다
-
여캐일러 투척. 6
수능 만점 기원 9일차
-
문제20개 해설20개 거의 3~4일을 꼬박 진짜 밥잠검토 돌리면서 오케이 때려도...
-
어제도 오늘도 역시 아침에는 삼각김밥[참치마요]하고 쌍화차가 국룰이지 ㅎㅎㅎ 오늘은...
-
. 0
-
얼버기 1
-
역사상 가장 어려웠던 교육청 수학 22번은 뭔가요? 1
3가지 순서매겨서ㄱㄱ
-
올해 국어 공부를 할 때마다 느끼는 건 내가 국어라는 과목을 오해하고 있었다는거다....
-
칼의기상 6
기상의나팔소리 나를깨우고 우렁찬폭음소리 온겨례를깨우네
-
고2 정시준비하고 있는데 현우진 풀커리 타기엔 시간없나요?.. 2
중학교땐 수학 잘 열심히 했었어서 굳이 도형은 인강은 안들을 생각인데 고등학교와서...
-
7/22 플래너 9
-
궁금합니다. 으외로 마는것같아서
-
얼버잠 0
쿨
-
일단 정시에 대해서 1도 모르는 바보 멍청이 맞지만 그래도 질문해봐요.. 일단 지금...
-
라고 적혀 있습니다 교수님 등짝에 손바닥으로 맞은 상흔도 있고요.
-
취업하고 진급에서 보았을때 차이큰가요??