[이동훈t] 3월 수학 - 기출로 풀어보자 !
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안녕하세요.
이동훈 기출문제집의
이동훈 입니다.
오늘은 3월 모평을
평가원/교사경 기출 만으로
풀어보는 시간을 갖도록 하겠습니다.
이 글이 얼마나 중요한지 ...
아시는 분들은 아실 거고 ...
기출에 대한 믿음을 잃은 자들에게
정독을 권하는 바입니다.
시작해 볼까요 ?
1.
거듭제곱근, 지수법칙이 결합된
교과서 예제 (숫자만 변형)
2.
미분계수의 정의와 도함수가 결합된
교과서 예제 (숫자만 변형)
3.
삼각함수의 정의에 대한
교과서 예제 (식과 숫자만 변형)
위의 두 문제 모두
(1) sin, cos, tan 가 포함된 등식을 변형하고
(2) 각 사분면에서 sin, cos, tan의 부호와 절댓값을 정한다.
의 전형적인 풀이를 적용하면 됩니다.
4.
함수의 연속에 대한 교과서 예제
(식과 숫자만 변형)
5.
부정적분의 정의, 함수의 방정식 결정 (즉, 적분상수C의 결정)
에 대한 교과서 예제 (식과 숫자만 변형)
6.
등비수열의 합(S)와 한 항(a1, ... 등)이 주어진
연립방정식을 푸는 문제.
S가 포함된 식을 어떻게 처리하는 가에 따라서
계산량이 달라질 수 있음.
교과서 연습문제 수준이고, 식과 숫자만 변형.
7.
삼차함수의 증가, 감소 구간을 결정하는
교과서 연습문제.
(식과 숫자만 변형)
삼차함수의 점대칭성이
결합될 수도 있고, 아닐 수도 있음.
8.
붉은 칸에 들어간 항등식을 모두 p(x)=0 이라 두고,
아래의 전형적인 풀이를 따르면 된다.
(1) 항등식 p(x)=0 이 주어졌을 때,
p(x)=0 의 x 자리에 특정 값을 대입
(2) p(x)=0 의 양변 미분하고
p ' (x)=0 의 x 자리에 특정 값을 대입
위의 두 문제는 시험의 관점에서 같은 문제이고
(물론 후자의 문제는 식의 성질을 하나 더 묻고 있긴 하지만)
식은 바뀌지만, 풀이는 바뀌지 않는다.
를 보여주는 예.
9.
로그의 성질과 좌표평면(고1) 단원이
내적 결합되는 문제들이
최근에 즐겨 출제되고 있는 편.
전자: 로그의 성질+두 직선의 수직 관계
후자: 로그의 성질+두 직선의 교점
이 외에도 다양한 결합이 가능할 것.
변형의 자유도가 높다고 생각할 수도 있겠으나 ...
사실 출제가능한 문제는 정해져있음.
10.
수직선 위를 움직이는
두 점 P, Q의 위치 관계(x1, x2)와
둘 중 한 점이 움직인 거리를
물리적 결합한 문제.
위치와 움직인 거리를 동시에 묻는 문제들이
최근에 자주 출제되고 있죠.
11.
등차수열+절댓값이 포함된 식에 대한
문제가 자주 출제되고 있는데 ...
전자: a5 의 부호 판단
후자: a5, a6 의 부호 판단
몇 개의 항의 부호를 가정하여
붉은 칸 안의 등식에서 절댓값을 벗기고
공차 d 의 값을 결정한다.
(이때, 2~3 경우 중에서 하나를 선택하게 됨.)
라는 전형적인 풀이를 적용하면 됨.
12.
정적분으로 주어진 함수의
극대극소/증가감소에 대한 전형적인 문제.
후자의 9월 모평 문제가
이런 유형에서는
거의 프로토 타입이라고 봐야 겠죠.
13.
원에 내접하는 사각형의 성질(붉은 사각형)
코사인법칙(붉은 사각형 안의 두 삼각형)
사인법칙이 결합된 문제.
후자의 문제에
삼각형의 넓이의 최대 가
결합되었다고 볼 수도 있음.
다만 기하적 상황이 깔끔하게 주어진 것은 아님.
14.
구간에 따라 정의된 함수(이차함수+삼차함수),
이차함수의 꼭짓점(대칭축)과 절편,
교점의 개수로 정의된 함수의 연속성
이 내적 결합된 문제.
대칭축의 위치를 정하고,
절편의 위치를 정하고,
꼭짓점의 y좌표를 정하는
전형적인 풀이를 적용하면 됨.
이때, 삼차함수의 극대극소의 y좌표가
경계값 임을 인지해야 하고 ...
이번 교육청 문제가 수능 문제보다는
복잡도가 쓸데 없이 높은 편 ...
15.
귀납적 정의에서 주어진 함수는 다르지만,
수형도를 역방향으로 그리면
어렵지 않게 풀리는 문제들.
당연히 후자의 수능 문제가
닫힌 집합을 묻고 있으므로
좀 더 고급지다 ~
라고 말헐 수 있겠읍니다.
16.
지수방정식 교과서 예제
숫자만 변형.
17.
교과서 예제 수준의 문제. (후자의 ㄴ)
18.
아래의 문제가 복잡도가 좀 더 높긴 한데 ...
두 개의 시그마를 각각 S, T로 두고 연립한다.
라는 전형적인 풀이를 적용하면 됨.
이 정도의 식 보는 눈은 있어야 ...
19.
곡선(삼차함수) 위의 두 점에서의 두 접선이 한 점에서 만난다.
라는 상황을 문제로 구성.
전자는 특별한 기하적 의미가 없어 보이고.
후자는 그림을 그러보면 기하적 의미가 있음.
잘 만든 문제와 그렇지 않은 문제의 차이란
이런 것이겠죠.
사소한 것들이 퀄리티를 달리 합니다.
20.
(1) 이차함수와 삼각함수의 합성함수
(2) 이 합성함수가 포함된 방정식의 풀이
의 전형적인 문제.
이차함수, 삼각함수, 합성함수, 치환, ...
등을 한꺼번에 평가할 수 있다는 점에서
초기 수능부터 30 년간 지속적으로
출제된 유형임.
전자의 경우.
g(x)=t 로 치환하면 되는데.
마지막 단계에서 t가 아닌 x의 합 임을 주의해야 함.
21.
두 문제 모두 붉은 색의
직각이등변삼각형을 그리게 됨.
(기울기가 -1 이다. 라는 조건에서
한 각의 크기가 45 도인
직각이등변삼각형을 떠올려야 함.)
이와 관련된 문제는 최근 몇 년 간
자주 출제되고 있음.
이번 교육청 문제처럼
그림 없이 문장만 주는 경우도 있고.
붉은 색의 삼각형을 그린 후에는
각 꼭짓점을 평행 이동의 관점에서
해석할 수 있어야 함.
22.
(절댓값이 붙은) y=|삼차함수| 에 대하여
구간에서 최댓값(또는 최솟값)으로 결정되는
함수의 그래프를 그리는 문제는
자주 출제된 소재임.
2010 년 수능 24 번 (후자)가
아마도 거의 프로토타입에 가까울 것이고.
완성도만 놓고 보면 ...
딱 교육청 스러운 문제인데.
함수 f(x)의 그래프를 가능한 정확하게 그린 후에.
구간의 길이가 2가 되는
곡선 y=f(x) 위의 두 점을 잘 찾으면 (아래 그림)
위의 교육청 해설지의 그림에서
붉은 칸의 두 개의 점은 의미가 있지만,
초록 칸의 두 개의 점은 의미가 없으므로
문제의 완성도는 높지 않음.
(만약 의미를 가지기 위해서는
삼차방정식의 근과 계수와의 관계가
결합되어야 하는데 그런 것도 아니고.
차라리 삼차함수가 아닌 이차함수라면
y=k*x^2 에서 상수 k의 값을 결정하는
의미를 가질 수 있었을 것.)
수능의 경우 점을 찍을 경우
교육과정의 관점에서
기하적인 관점에서
문제의 구성상의 흐름에서
...
중요한 점들인 경우가 대부분.
이에 대해서는 내 글을 계속 읽어오신 분들이라면
이미 아실 것이고.
23.
교과서 예제, 숫자 변형.
24.
교과서 예제, 상황만 변형.
전자는 홀수, 후자는 5의 배수
25.
교과서 연습문제, 숫자만 변형
26.
최단 거리 문제에서
특정한 점을 지난다,
특정한 점을 지나지 않는다.
가 포함된 전형적인 문제.
27.
서로 다른 상자에
카드, 공, ... 등
(단, 같은 것이 있을 수 있음)
을 넣는 경우의 수에 대한 문제.
이때, 특정 상자를 선택해야 하거나,
특정 카드(또는 공)을 선택해야 함.
(즉, 조합의 수)
고1 과정의 경우의 수(순열, 조합의 수),
같은 것이 있는 순열의 수를 적용하여 풀면 됨.
변형의 자유도가 높을 수 있는 유형.
(그래도 풀고 나면 뻔하다.)
28.
중복조합의 전형적인 유형에 해당하는데 ...
붉은 칸: 소인수 분해
푸른 칸: 각 문자(a, b, c, ...)가 갖는 인수, 갖지 못하는 인수 결정
푸른 칸을 어떻게 주는 가에 따라서
변형의 정도가 클 수 있음.
(그래도 풀고 나면 뻔하다.)
29.
서로 다른 사람에서
같은 종류의 사탕, 초콜릿을 나누어주는
전형적인 유형의 문제.
이때, 각 사람이 받을 수 있는
사탕과, 초콜릿의 개수에 대한
제한 조건이 붙음.
전자의 문제의 경우
초콜릿의 종류가 서로 다른 것이 변형된 조건.
문제의 조건에 맞게
각 사람에게 일단 사탕, 초콜릿을 나누어 주는
그림을 몇 개 그려보면
자연스럽게
(1) 몇 개의 케이스를 나누고 (수형도 또는 상자 이용)
(2) 중복조합의 수를 이용하게 됨.
30.
붉은 칸: 중복조합
푸른 칸: 합성함수 (f(a)=b, f(b)=a)
여기에 전자의 문제의 경우
(나): 조합
까지 결합된 전형화된 유형.
이 정도의 문제들은
머뭇 거리지 않고
바로 풀려야 함.
왜냐하면 푸는 방법이 정해져 있으니깐.
23.
교과서 예제, 숫자 변형.
24.
교과서 연습문제, 숫자/식 변형
25.
문제에서 주어진 꼴을 만들기 위하여
주어진 부등식을 변형하는
전형적인 풀이를 적용하는 문제들.
빠르게 계산하고 싶다면 ...
전자: an=2n 으로 두어도 좋음.
후자: an=9n 으로 두어도 좋음.
26.
등차수열+수열의 극한이 결합된 전형적인 유형.
두 문제 모두.
n이 무한대 이므로
결국 공차(d)가 포함된 식의 비율이 답임.
27.
수열의 합과 일반항의 관계에서an 을 결정
+수열의 극한
에 해당하는 전형적인 유형.
전자가 식 계산량이 좀 많을 뿐.
사실상 같은 문제임.
28.
직선 위의 두 점과 원 위의 한 점을 꼭짓점으로 하는
삼각형의 넓이의 최대, 최소를
소재로 하는 전형적인 유형의 문제들.
29.
곡선 밖의 점에서 곡선에 접선 긋기.
원 밖의 점에서 두 접선 긋기.
(즉, 원과 접선에 관련된 보조선을 긋기.)
서로 닮음인 두 (개 이상의) 직각삼각형 찾기
가 결합된 문제.
위의 그림처럼
서로 닮음인 두 직각삼각형들을 찾았다면
닮음비를 이용하여
원하는 선분의 길이와 도형의 넓이를 구하면 되고.
만약 부등식의 영역 아시는 분들은
바로 점과 직선 사이의 거리 공식
바로 적용하면 됩니다.
30.
극한으로 주어진 함수의 방정식,
삼차함수의 그래프의 개형 결정이
결합된 문제.
각 상자별로 보면 ...
보라상자: 극한으로 주어진 함수의 방정식
붉은 상자: x절편 찾기 (+사이값정리)
푸른상자: 삼차함수가 감소하는 구간의 (부분집합)
아마도 ...
30번 만든 분이 작수 22번을 풀지(보지) 않았을
가능성은 거의 없고 ...
작년 수능 공통 22 번을 변형한 것 같은데 ...
전형적으로 못 만든 교육청 난문.
그런데 이해가 되는게 ...
저 문제 만들고 받는 돈이란게 별거 없을 것이고 ...
이 정도 출제하면 된다는 생각도 듬 ...
교육청 30번 풀이를 좀 살펴보면 ...
g(x) 의 방정식을 정리하면
함수 g(x) 의 그래프는 원점을 지나고
제1사분면에서 극대점을 가짐을
알 수 있음.
(나): g(x)=0 의 해는 0, alpha, alpha+1
(가)+(다): l=m, m+1, m+2 또는 m+1, m+2, m+3
(나)+(다): alpha=m+2 또는 m+3
이건 점 몇 개 찍어보면 바로 나옴.
원본(작수22번)이 갖고 있는
수학적 의미가 사라지고 ...
싸게 먹는 느낌.
23.
타원에서 그려지는 직각삼각형에 대한
교과서 예제, 숫자 변형.
24.
포물선의 정의에 대한 교과서 예제.
숫자만 변형.
25.
쌍곡선에 그려지는 직각삼각형과 점근선에 대한
교과서 연습문제. 역시 숫자만 변형.
26.
포물선의 평행이동과
초점, 준선, 꼭짓점의 이동의 관계를
묻는 문제.
특히 전자의 경우.
평행이동이 포물선의 초점과 준선 사이의 거리에
영향을 주지 않음을 알아야 함.
27.
각의 이등분선의 성질과 이차곡선이 내적 결합된 문제.
두 문제가 사실상 같죠 ?
28.
한 초점을 공유하는 이차곡선에 대한 전형적인 유형.
특히 위의 두 문제는
두 타원이 한 초점을 공유하는 상황을
소재로 하고 있고.
여기에 삼각비 또는 코사인법칙(or 피타고라스)가
결합되었다는 공통점이 있음.
타원의 정의에서 삼각형이 반드시 그려지게 되므로
삼각비, 피타, 코사인법칙, ...
이 결합되는 것은 자연스럽죠.
29.
두 문제 모두 두 포물선의 방정식을 연립해야 하는데.
후자는 연립해야 하는 이유가 분명한 반면,
전자는 그렇지 않음.
(포물선의 정의로 접근해야 하나 ? 라는
시행착오를 한 후에 비로소 계산 하게 됨.)
문제의 완성도에 아쉬움이 들지만.
역시 받는 돈을 생각하면 ...
이 정도 만들면 되겠죠.
30.
이차곡선의 정의+원의 정의/성질(직각)
+한 각을 공유하는 두 삼각형+코사인법칙이
결합된 전형적인 문제.
30번은 아래의 두 문제가
물리적으로 결합되었다고 보아도
무방할 것이고.
30번에 걸맞은 괜찮은 문제다.
라는 생각을 하게 됩니다.
.
.
.
이제 날도 슬슬 덥고 ...
느슨해질 시점입니디만.
열공들 하십시오 ~!
다음에 또 만나요 ~!
ㅎㅍ~
2025 이동훈 기출 사용법 (+실물사진)
2025 이동훈 기출 실전 개념 목차
(참고로 2025 이동훈 기출은 수분감 + 뉴런 포지션 입니다.)
[이동훈t] 학습법, 수학 칼럼 링크 모음 ('23~'24)
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29번 저렇게 푸는건 너무 비효율적이지 않나..
미적분 29번의 기하적 상황에 대한 설명이 부족했던 것 같아서 ... 그림에 보조선을 추가하고, 내용 설명을 보강하였습니다. :)