[이동훈t] 22번 완전 분석 (241122)
게시글 주소: https://iu.orbi.kr/00067004829
안녕하세요.
이동훈 기출문제집의
이동훈 입니다.
오늘은 2024 수능 수학 공통 22번을
물고, 뜯고, 맛보는 시간을
가져보겠습니다.
이미 분석 글을 올려드리긴 했습니다만. (아래 글)
[이동훈t] 수학 22번 구조 분석 (2024학년도) 수학2
이 문제에 대한 생각이 완전히 정리되었고 ...
더 새로운 생각이 떠오를 것 같지는 않아서
최종 버전으로 다시 올려드립니다.
물론 ...
이 글에서 제시하는 분석만이 옳다.
라고 말 할 수는 없겠습니다만.
아마도 출제 의도에 가장 근접한
해석 중의 하나 일 것입니다.
우선 문제 보실까요 ?
사이값 정리와 도함수(그래프 개형)이
결합된 문제인데요.
문제를 읽고 나서
위의 세 개의 조건이 머릿속에서
다음과 같이 정리되어야 합니다.
붉은 상자 - 함수 (삼차함수의 그래프 개형)
보라 상자 - 사이값 정리 (x절편 결정)
푸른 상자 - 3개의 구간 + 2개의 점 (y절편 결정)
특히 아래 그림과 같이
세 개의 구간과 두 개의 점으로
정의역을 분할 해야 합니다.
위의 그림을 설명하면 ...
f ' (-1/4) = -1/4
f ' (1/4) = 음수
가 주어졌을 때,
두 점 (-1/4, f(-1/4)), (1/4, f(1/4)) 을
좌표평면 위에 찍는다.
2 개의 경계 x=-1/4, 1/4 로 분할된
3 개의 영역 각각에서
함수 f(x)가 만족시키는 성질을
그림 또는 수식으로 표현한다.
여기까지가 ...
문제를 본격적으로 풀기 전에
해야 하는 밑 작업 입니다.
이 문제를 풀어본 분들은 아시겠지만 ...
푸른 상자를 위와 같이 처리하지 않으면
(=점 찍기와 구간 나누기)
f(0) = 0
을 유도하기 쉽지 않습니다.
이 풀이의 근거는 아래 문제에 있습니다.
미적분 문제인데요.
f(0) = 0, f(루트pi) > 0
에서 두 개의 점
(0, 0), (루트pi, f(루트pi))
를 좌표 평면 위에 찍어야 하고.
보기 ㄴ에서 점 (a, f(a))를 주었으므로 이를 찍고,
정의역을
[0, a), a, (a, 루트pi]
와 같이 두 개의 구간과 한 개의 점으로
구분해야 합니다.
아래의 그림은 2025 이동훈 기출 미적분 해설의 그림.
이처럼 사이값 정리 + 평균값 정리 문제는
주어진 점 찍고,
정의역 분할하고,
각 점과 구간에서 성립하는 성질을
그림과 수식으로 표현한다.
가 기본입니다.
이에 대해서는
2025 이동훈 기출 수학2, 미적분에서
자세하게 설명해두었습니다.
아래는 2025 이동훈 기출 수학2
평균값 정리 실전 개념의 예제와 참고.
위와 같이
사이값 정리, 평균값 정리에 대한 실전 개념을
정리한 수험생이라면 ...
그렇지 않은 분들보다
몇 단계 위에 있을 수 밖에 없습니다.
2등급 하단의 분들은
평가원 기출 1회독 하고 나서
실전 개념 한 번 정독하면
안정적인 1등급에 오를 가능성이 높습니다.
f ' (a) 가 주어졌을 때,
점 (a, f ' (a)) 를 찍는 문제는
찾아보면 상당히 많습니다.
아래의 문제가 대표적일 것이고요.
이 문제에 대한 자세한 설명은 아래 글에서.
[이동훈t] 수능 난문 만드는 법 (+221130, 231122) 수학2, 미적분
.
.
.
이제 교육 과정의 서술 체계의 관점에서
좀 더 자세하게 살펴보겠습니다.
집합은 함수의 선행 단원이고,
함수는 미분법의 선행 단원입니다.
즉,
집합(정의역의 분할, 포함관계, 연산, 등등) A
-> 함수(그래프) B
-> 미분법(사이값 정리, 미분가능성, 등등) C
수능에 출제되는 미적분 난문의 경우
C 가 어렵다기 보다는
A 에 대한 이해가 부족해서
잘 풀리지 않는 경우가 대부분입니다.
A 에 대한 예를 들어보면 ...
P in Q(=정의역)일 때,
P에서는 성립하지만
Q에서는 성립하지 않는 성질을 묻거나.
(또는 둘 다 성립하거나,
P는 성립하지 않고, Q는 성립하거나.)
점 (a, f(a))가 주어졌을 때,
(-inf, a) 합 a 합 (a, inf) = 정의역으로 구분하고,
두 구간 (-inf, a), (a, inf)과 점 a에서
모두 성립하는 성질을 묻거나.
(또는 일부에서만 성립하거나.)
... 등이 있습니다.
B 도 쉽지는 않지만
대부분의 수험생들이
어느 정도는 암기하기 때문에
이 부분이 아주 어려워 질 수는 없습니다.
수능 미적분 난문의 경우
미분법 단원을 그 자체를
어렵게 출제하는 것에는 한계가 있으므로
미분법의 선행 단원인
집합, 함수에서
어렵게 할 수 밖에 없습니다.
22번으로 다시 돌아가면 ...
정의역 분할의 관점에서
푸른 상자를 해석하면 ...
우선
f ' (-1/4) = -1/4
f ' (1/4) 는 음수
의 조건에서 두 점
(-1/4, f(-1/4)), (1/4, f(1/4))
을 좌표평면에 표시할 생각을 해야 합니다.
이때,
붉은 상자의 조건을 결합해보면
최고차항의 계수가 양수인 함수 f(x)는
구간 (-1/4, 1/4)에서 감소합니다.
두 점 (-1/4, f(-1/4)), (1/4, f(1/4))을 찍고 나면
자연스럽게 y절편을 결정해야 하고
(왜냐하면 f(x)는 연속이니까요.)
( 좀 더 자세히 설명하면
(-inf, -1/4), -1/4, (-1/4, 1/4), 1/4, (1/4, inf)
로 구분하고 ...
구간 (-1/4, 1/4)를 다시
(-1/4, 0), 0, (0, 1/4)
로 구분한다.)
이때,
f(0) > 0, f(0) = 0, f(0) < 0
의 세 경우로 나누어야 합니다.
(고1 과정: 실수 a가 주어지면
a>0, a=0, a<0
의 세 경우로 구분하여 생각한다.)
보라 상자에서 주어진 조건에 의하여
(귀류법을 적용하면)
f(0) = 0
임을 알 수 있습니다.
y절편을 결정하였으므로
이제 x절편을 결정하면 됩니다.
도함수 보다 절편을 먼저 생각하는 이유는
교과서에서 다음과 같이 설명하고 있기 때문입니다.
< 교과서 본문 설명 >
다항함수의 그래프의 개형을 그리려면
좌표축과의 교점,
함수의 증가와 감소,
극댓값과 극솟값
등을 알아야 한다.
순서를 보시면 ...
절편이 증감극대극소에 우선함을 알 수 있습니다.
예를 들어 이차 곡선을 그리는 방법을 배울 때,
지나는 점을 여러 개 찍고 나서
부드러운 곡선으로 연결합니다.
(즉, 점 -> 곡선)
이처럼 수능 난문의 경우
점을 먼저 찍고 나서 곡선으로 연결하는 것이
풀이의 시작이 되는 경우가 상당히 많습니다.
이제 x 절편을 결정합니다.
f(0)=0 을 찾고 나서
x=+-1, +-2, +-3, ... 에서의
f(x)의 부호 또는 값을 결정합니다.
이때, 사이값 정리를 이용합니다.
x절편, y절편을 모두 결정하였다면
함수 f(x)의 방정식을 세우고
f ' (-1/4) = -1/4
f ' (1/4) 는 음수
를 만족시키는 경우를 찾는다.
함수 f(x)의 방정식을 결정한 후에
f(8)의 값을 구한다. (끝)
요컨대 ...
함수 f(x)의 그래프의 개형을 그리는 순서는
절편을 찾는다 -> 도함수 -> 그림(수식)
이므로
x절편, y절편을 먼저 찍을 생각을 하지 않았다면
교과서와 (평가원) 기출을
완전히 무시한 풀이가 됩니다.
예를 들어
(미분가능성에 대한 문제를 풀던 관성으로)
f(x)의 그래프와 x축의 위치 관계로
먼저 접근한 분들이라면 ...
한 참을 헤맸을 가능성이 높지요.
이 문제가 참 잘 만든 것이 ...
교과서의 서술 체계
(집합 -> 함수 -> 미분법)
에 대한 이해가 부족하면
헤맬 수 밖에 없습니다.
뭐 ... 많이 들 헤매더라고 ..
.
.
.
이제 이해의 마지막 단계까지 가볼까요 ?
이 문제를
이산과 연속의 관점에서 해석해 보겠습니다.
보라 상자를 다시 쓰면 ...
모든 정수 k에 대하여
f(k-1)f(k+1) >= 0
인 최고차항이 1인 삼차함수 f(x)는 존재한다. (참)
모든 정수 k를 모든 실수 x로 바꾸면 ...
모든 실수 x에 대하여
f(x-1)f(x+1) >= 0
인 최고차항이 1인 삼차함수 f(x)는 존재한다. (거짓)
즉, 보라 상자에서 주어진 성질은
실수 범위에서는 성립하지 않지만
정수 범위에서는 성립합니다.
다시 말하면
연속적인 상황에서는 성립하지 않지만
이산적인 상황에서는 성립합니다.
이에 대한 문제는 작년 9월 공통에서
출제된 적이 있습니다.
보기 ㄷ은
t가 자연수일 때에는 성립하지만
t가 양의 실수이면 성립하지 않습니다.
이처럼 ...
수능에 출제되는 난문의 경우
이산과 연속에서 모두 성립하거나,
이산과 연속 중에서 한 쪽만 성립하는 경우를
종종 출제하고 있습니다.
이산과 연속은
고교 수학의 최종 목표 중의 하나이고,
거의 매해 출제되는 중요 개념 입니다.
뭐 ...
출제자들도
수학적으로 의미 없는 문제를
출제하고 싶지 않을 것이고 ...
이산과 연속에 관련된 명제를
찾기 위해서 혈안이 되었다고 봐야지 ...
배운 사람들은
배운 티를 내거든.
그게 출제자들의 약점이야.
.
.
.
정말 마지막으로 ...
22번은
어떻게 만들었을까 ?
다음의 두 가지 정도가 아닐까 싶은데요.
(1) 특수한 경우 -> 일반적인 경우로 확장
위의 교육청 기출 (나)에서
주어진 부등식은
몇 개의 정수 k에 대하여 성립하는데요.
이를 모든 정수 k에 대하여 로 바꾸었다.
고 생각해 볼 수 있습니다.
즉, 방정식 -> 항등식
으로 바꾸어서 문제를 만든 것이고.
이때, 필연적으로
사차함수에서 삼차함수로 바꾼 것이겠죠.
(2) 이산적인 상황에 삼차함수를 씌웠다 ?
수열 -> 삼차 함수로 즉, 이산 -> 연속으로
바꾸어서 문제를 만들었다.
뭐 .. 이런 가능성도 있어 보입니다.
.
.
.
안정적인 만점을 원하나요 ?
225 이동훈 기출 에서 제시하는
실전 개념과 함께하세요.
ㅎㅍ ~
[이동훈t] 학습법, 수학 칼럼 링크 모음 ('23~'24)
2025 이동훈 기출 사용법 (+실물사진)
[이동훈t] 2025 이동훈 기출 사용법 (+실물사진)
2025 이동훈 기출 실전 개념 목차
(참고로 2025 이동훈 기출은 수분감 + 뉴런 포지션 입니다.)
[이동훈t] 2025 이동훈 기출 실전 개념 목차
고1 평가원 기출문제집
[이동훈t] 2025 이동훈 기출 고1 수학 PDF 무료 배포
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
뱃지 왔다 0
다시 열심히 반수 달린다
-
이렇게 다들 4
정시파이터가 되는건가
-
한문제당 500원이라고 생각했는데 워크북 포함해서 57000원에 249문제면 나쁘지...
-
지금 배송 왔네 얼른 풀고 성불해야지 (그리고 수학 뉴비들 기벡으로 학살해야징)
-
공부 너무 하기 싫어서 생각난김에 몇달만에 들어왔는데 오르비 빡세게 안한지...
-
보고싶어 0
“너가”
-
대체 어떤 삶을 살아야 14
고등학교가 쓸모없다고 할 수 있는거지 고등학교 추억만큼 돈으로 살 수 없는 값진게...
-
모고는 백분위 99인가 나왔는데 내신은 3등급도 애매한 성적 나왔네요 그냥 개...
-
서울대vs 경한 5
만약 설대 경제에서랑 경희 한의대에서 같은 노력 대비 같은 효율(소득, 근로시간...
-
”광도가 다른 두 행성계“에서 생명가능지대 안쪽 경계의 행성이 받는 단위시간당...
-
수능 200일 깨진 지금 이 시점에선 원영적 사고를 0
원영적사고: 수능 d-200이 깨졌지만 이제 따뜻한 날씨에 공부할 수 있으니...
-
풀모고가 필요합니다 퀄리티 아주 안 좋지만 않으면 되는데 살 가치가 있나요
-
생윤, 사문 모두 다 개념책, 기출문제집 다 있어가지고 수특 풀때마다 수특 내용...
-
애들도 다들 착하고 콴다 십x들 올해 대학갈수있을지 ㅈㄴ 궁금하네 가뜩이나 집안이랑...
-
확신이라는 단어를 너무 가볍게 사용하는 것 아닌가 생각합니다.. 의대 증원 된다는...
-
스윙칩 연승
-
점심먹고 반으로 올라오는데 고려대 간 선배가 스타벅스 에이드랑 고대 뱃지랑 고대...
-
중간고사 끝! 0
근데 과제....휴식 없다?
-
잼민이때부터 쓰던 계정이었는데 하ㅠㅠㅠ
-
서울대 고려대 중앙대 홍익대 빼고 어디있어요?? 그리구 가산점두 좀 알려주시면 감사하겠습니다..
-
얼굴 존나 쪼꼬만 여자들이 많지 상위 1퍼센트 얼굴 크기가 이렇게 많다고... 머리...
-
역부근 아무 식당 갈거같은데
-
역대급으로 공부하기싫음 14
ㅅㅂ어카노?
-
틱톡에 춤추는 영상 올린 이라크 여성, 총격으로 사망 1
틱톡에 춤추는 영상을 올리는 등 이슬람 도덕률을 훼손한 혐의로 복역했던 이라크의...
-
진짜 쉽지않음
-
이것이 옳다
-
SNL 방송중 진짜 담배에 불을…기안84 ‘흡연’ 논란 1
웹툰작가 겸 방송인 기안84가 방송 중 실제로 담배를 피워 논란이 일고 있다....
-
살려줘
-
이 문제 정답이 4번이라는데 도저히 그 이유를 모르겠네요 ㅜㅜ... 기타공사가...
-
먹고 공부하고 먹고 공부하고 필승 6순환
-
때잉 시발
-
이건 대학생 학대야 수기로 12페이지를 어떻게 써..
-
단답형1번 첫번째꺼 b번에 답이 that만 되나요? 애들이 thing뒤에 which는 못온대여..
-
엄마랑 할아버지 생신이라 본가 내려가야해서 그러는데 첫날 결석하면 교재랑 복영같은건...
-
이부분에서 t가 무한히 크다하면 g(t)도 무한히 증가하니 g(t)가=0 이려면...
-
배달팁 무료인데 어케참아 ㅋㅋ
-
국어질문 6
법률실증주의는 국가의 입법 기관에서 제정하여 현실적으로 효력을 갖는 법률인...
-
신기하네요
-
점심은버거킹 6
오뿡이들맛점
-
임상시험 신청했는데 금액대가 ㄱㅊ더라고요!! (문제될까봐 액수랑 일정,시험명 다...
-
공부좀 해!! 1
그냥 할 것들 딱! 정해 놓고 촥촥촥촥 해버리면 되는데 왜 안하는 걸까? 밥 먹고...
-
본인 10년째 앓는 중 지금은 전보다 많이 나아짐 모든 약은 개인차 있음 나에게...
-
학식줄이너무길어 4
배곺아
-
대왕파리 땜에 잠깐 밖으로 피신했는데 들어오니까 또 ㅈㄹ이네 진짜 내 주위만 계속...
-
영어 4 국어2 수학4뜸 ㅋㅋㅋㅋㅋ 나 진짜 어카냐 진짜 힘들다 하 공부한거에 비해...
-
찐따 특 4
시험 끝나고 답지 비교할 사람 없어서 공식 답안 나올때까지 정보따윈 없음
-
무슨 느낌일까.. 궁금하게 만드는건 성공했네요
-
도망다니고 있음... 개쪽이네
-
보통 4월 마지막날에 올라오는거같던데
-
김동욱 일클 하고 있는데 문학 더 보충하고 싶음
선7ㅐ추 후감상
기출분석이 여러모로 중요한거 같아요...
수학도 국어처럼 기출로 리턴해봐야겠네요..
올해 좋은 결과 얻으시길 기원합니다 ! :)