[재업] 가형 만점자의 241122 풀어보기

안녕 칼럼러(?) 봇치에요 저도 시간 여유가 있는 최근에 24수능을 다시 풀어봤답니다!

이번엔 24수능22번을 어떠케 제가 풀었는가를 한번 공유해드리려고 해쇼><

자 이게 그 논난의 22번인데요 같이 한번 풀어봅시다

일단 주어진 조건을 이용해 함수 f의 개형을 살펴볼텐데요

함수 f는 최고차항의 계수가 1(양수)인 삼차함수네요! 근데 f'(1/4)=-1/4이라니..

삼차함수의 미분계수가 음수인 구간이 존재한다면.. 요놈은 극대 극소를 모두 갖는 모양이겠군뇨!

자 이제 박스안에있는 조건을 이용해서 함수의 실근 개수를 추정해봅시다

말로 풀어보면 함수 f에 모든 '정수' k에 대하여 k+1과 k-1을 각각 대입했을 때 그 곱은 음수가 될 수 없다!

즈윽, 함숫값의 곱이 0보다 크거나 0이다! 라는 의미겠군뇨

자 위의 그림은 각각 f가 실근을 1개, 2개, 3개 가질때를 그린건데(발컨2ㅈㅅ)

실근을 1개만 가진다->  n<a<n+1을 만족시키는 정수 n이 반.드.시 존재하니까 안됨

실근을 2개 가진다.->얘도 마찬가지임뇨 그래서 안됨

아! 따라서 f는 서로다른 세 실 근 을 갖겠구나!

자 이제, 구체적으로 실근을 추론해야할텐데..

저는 크게 f가 1.정수가 아닌 실근만을 가질 때

                  2.정수인 근을 적어도 하나 가질 때

로 case를 bunryu했는데요

1. 정수가 아닌 실근만을 가질 때

자 위의 세번째 그림의 연장선에서 생각해봅시다. a,b,c는 모두 정수가 아니에요><

여기서 꿀팁! 조건을 만족시키도록 하는 함수를 먼저 생각해보는거에요

근데 말이 안된다 싶으면 이 케이스는 버리는거죠

자 무슨말이냐면, a b c가 모두 정수가 아닌 상태에서 조건을 만족시키려면 어떻게 해야할까요??

일단 a-1<m<a인 어떤 정수 m이 반드시 존재할거에요 (m는 a보다 작은 정수 중 가장 큰 정수) 그리고 f(m)<0이고.

그럼 조건을 만족시키기 위해서는? k자리에 m+1을 대입했을 때 f(m)f(m+2)>=0이어야 하니까

'b<m+2<c'라는걸 알 수 있어요! 이제 m+1의 위치를 생각해볼건데

첫번째로 a<m+1<b인 경우, 조건을 만족시키기 위해서는 m+3>c임을 알 수 있어요!

            오호 그런데 k자리에 m이나 m+3을 대입해버리면 조건에 위배가 되는군요! 이놈은 안된다

두번째로 b<m+1<m+2<인 경우, 조건을 만족시키기 위해서는 모든 자연수 p(p>1)에 대해서

            f(m+p)<0이어야 하는데 이 경우 함수를 결정할 수 없기 때문에 모순이 됩니다. 이놈도 안된다

그렇다면 f는 '적어도 하나의 정수근'을 갖겠네요

그런데 위와 같은 논리를 적용했을 때, f가 어떤 정수근 alpha를 갖는다고 했을 때 주어진 조건을 만족시키기 위해선

f는 alpha+1 또는 alpha-1 또한 정수근으로 가져야만 합니다

이 때, 아래와 같은 개형도 추가적인 조건을 살펴보지 않았을 때는 가능하긴 합니다만

조건을 잘 살펴보면, f'(-1/4)과 f'(1/4)모두 음수이므로 f'(0)의 값도 음수여야 한다는 것을 알 수 있습니다!

따라서 위의 상황에서는 alpha만이 정수이어야 하므로 f'(0)의 값이 음수일 수 없으므로 불가능합니다

흐흐 이제 거의 다 왔군뇨

자 지금까지 얻은 것이 뭐였죠?

f는 연속된 정수근을 '최소' 두개는 가져야 한다!입니다. 그리고 f'(0)<0이라는 점!

이 두개의 조건을 잘 섞어섞어보면 느낌이 오시나요??

네! 바로 지금까지 얻은 결과를 통해 f(0)=0이어야 한다는 결론을 도출해낼 수 있습니다

f가 실근을 세개 갖는데 연속된 정수근을 최소 두개는 가져야 한다는건, 미분계수가 음수인 지점에서 갖는

실근은 '반드시' 정수근이어야 하고, 우린 이미 f'(0)<0이라는 것을 알았으니 말이죠!

이제 f가 -1만을 정수근으로 갖는 경우, 1만을 정수근으로 갖는 경우, -1과 1 모두를 근으로 갖는경우

이렇게 세 가지로 나누어 주어진 조건을 만족시키는 경우를 구해주면 됩니다

어때요? 봇치는 이런 사고과정으로 문제를 해결했답니다^^ 개추를 꾸욱 눌러주새요

+어제 자정에 올렸었는데 글 노출이 잘 안돼서 ㅠㅠ 재업함뇨ㅡ