제 이해가 맞을까요 ㅠㅠ
게시글 주소: https://iu.orbi.kr/0006672755
연속 및 미분가능성을 따지는 것에 대해 다음과 같이 이해한 제 이해가 맞을까요? ㅠ
제가 말을 워낙 난해하게 해서 그런지 제가 여쭤본 모든 선생님들께서 아래의 말이 확실히 다 맞다는 것을 확답해주시지 못했네요 ㅠㅠㅠㅠ
예를 들어 f(x)가 x<a에서 g(x)와 같고 x>=에서 h(x)와 같다고 할 때요 연속을 따지라 그러면..
g(x)와 h(x)가 x=a에서 연속인 경우,
"f(x)는 x<a에서는 대응관계가 g(x)와 같다. 그런데 g(x)의 경우 a에서 연속이므로 x->a-0의 극한값이 g(a)와 같다. 고로 x<a에서 g(x)와 대응관계가 같은 f(x)의 좌극한값은 f(a)이다. 동일하게 하면 f(x)의 우극한값은 h(a)이다. 고로 g(a)=h(a)이면 f(x)는 a에서 연속이다."
"만약 g(x)가 x=a에서 연속이 아니라면, x=a에서 연속이 되는 g(x)를 만들어준다. 만약에 a=0이고 g(x)=|x|라면 새로운 함수 j를 가정하여 j(x)가 x<a에서는 g(x)와 같고, x=0에서는 0이라고 치자. 그러면 그것은 x<a에서 연속이다. 그리고 역시 같은 원리로 그 좌극한값은 f(x)의 좌극한값과 같다. 따라서 f(x)의 좌극한값은 j(a)이다."
한편, 미분가능성의 경우,
"g(x)가 x=a에서 미분가능이라고 할 때
{f(x)-f(a)}/x-a를 보면 f(a)를 제외하고는 x<a에서 모두 g(x)와 같다.
고로, f(x)-f(a), x-a가 수렴하는지 여부 따질 것 없이 (찢어주기 성질 생각할 것 없이), f(a)=g(a)이면 이건 g(x)의 미분계수와 같다. f(a)=/=g(a)이면 같을지 안 같을지 모르고.
그런데 f(x)가 x=a에서 연속이라면 위에서 쓴 원리대로 g(a)=f(a)이다. 따라서 f(x)의 좌미분계수는 g(a)의 미분계수와 같게 된다.
우미분계수의 경우 f(x)는 x=a에서도 h(x)와 같으므로 고민할 것 없이 f(x)의 우미분계수는 h(x)의 우미분계수와 같다.
따라서, '연속이고' g'(a)=h'(a)이면 f(x)는 x=a에서 미분가능하다."
"g(x)가 x=a에서 미분가능인지 여부에 상관 없다. 그 경우는 생각할 필요 없다. 그때는 g'(a) 자체가 없기 때문이다. 그때는 미분계수의 정의에 충실하게 구해주어야 한다."
맞나요? ㅠㅠㅠㅠㅠ
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
경북 부산 대학교 화학관련 공대를 졸업했는데요 취업준비를 하려하니 엔지니어 직무여서...
-
글쓴 사람 닉네임 나오게 캡쳐해서 조리돌림 하면 정지임? 1
독포 먹고 바로 가는겁니까
-
도서관 스카 0
도서관 목요일 휴관 + 무료 스카 15만원 (애매한 지인 만날 확률 좀 있음..)...
-
새기분 우기분 0
저 지금 새기분 우기분 다 하긴 빡세겠죠? 새기분 건너뛰고 우기분만 해도...
-
지금 훨씬 억까 적었을 텐데 뭐 젊었을 때로 돌아가도 난 후회는 없다고 한 거 보면...
-
ㅈㄴ 어지럽네
-
씨브라아알
-
ㅎㅎ 14
ㅎㅎ
-
1시에 스타벅스 와서 사관학교 수학 좀 풀었는데 사람 개많음+힙합 들으면서 수학...
-
담주부터 매주 토요일에 실모를 보려고 하는대요 수학은 수1밖에 안돼있어서요 수1만...
-
현 고2고 양지메가 윈터스쿨 들어가고 싶은데 성적표 제출할 때 므조건 고2 내신...
-
진짜 기다리느라 미치겠는데 걍 딴사람한테 팔아버릴까
-
제일 어려운 수능 국어는 몇 년도 같으신가요?
-
칭찬해..
-
아 잠온다 4
좀만 잘까
-
..ㅇ
-
이럴 때 어케함?? 국어지뭐도 안 읽히고 수학문제도 안 풀림.. 걍 좀 쉴까ㅠ 맘...
-
어린연의못하는설의가없네 ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
메리트 있음? 이공계 목표고 군수생이라 과탐보다 사탐이 공부하기엔 더 나을것같음...
-
뭘해도 재미없고 지루해
-
엔제 풀면서 병행하려고 하는데
-
백분위 87정도입니다 언매실력이랑 문학 속도만 더 빠름면 2중반은 뜰것같..와요...
-
국어 수완 실모 5회 수학 배성민 하프타임모의고사 시즌1 3회~5회 영어...
-
투표좀 2
투표 ㄱ
-
자료 수집과 자료해석때 연구자의 입장이 아니라 연구대상의 입장에서 연구자료를...
-
작년엔 내신 믿고 개쳐나대다가 6지망 왔는데 올해는 좀 다르면 좋겠다
-
현 고2인데 고1 모고 성적표로는 못 들어가나요? 무조건 고2 모고 성적표만 입력할 수 있나요??
-
배민 쿠폰 주길래 bbq시켜먹엇는데 맛있는데 맛이없음 마라탕이랑 떡볶이는 혼자먹어도...
-
ㄹㅇ
-
굿
-
대구 러셀 가본다
-
대성○○이런 이름 보면 ptsd와요
-
슈냥의 미연시가 보고 싶었는데
-
공부하기 싫을 때 문제나 만들어볼까 하고 3시간 동안 고심해서 만든 문제입니다....
-
야호엽떡 6
-
반디왜케귀여움 0
생긴거하나만보고귀여워하는중 빨리 메인퀘 밀어야지
-
댓글 복사 성공 4
-
그래도 재수하는 지금이 최근 5년동안 제일 행복하다 3
진짜 인생이 개 ㅆㅎㅌㅊ
-
전역이 보인다 3
찍턴 3달남음
-
상황이 되게 재밌네요
-
걍 우리아파트로만 배달 오는 배달원 한명 있음 근데 맨날 택배를 층마다 놓고 가기가...
-
반수생임
-
사탐런은 도망이 아니라 피난에 가까움 일단 저같은경우는 과학을 ㅈㄴ 좋아하고 수학도...
-
언매 퀴즈 2
자음군 단순화는 음절의 끝에 쌍받침이 올 때, 이중 한 자음이 탈락하는 현상이다. (O / X)
-
분캠 과잠 0
고대세종이나 연대미래캠같은 분캠도 과잠은 디자인 똑같나?
-
와 뭐임 3
이투스 7모 영어 33번이랑 사관학교 영어 4번이랑 지문이 똑같네 ㅋㅋ
-
제가 지금 생각하는 숫자 맞추면 1000덕+2000덕 101
범위는 1~1000000 업다운 해드릴께요
-
2만덕드릴게요 급합니다!
-
누구잇나여??? 두각도 좋음
보통은 구간별함수를 줄경우 두함수자체는 연속이게 줍니다
바뀌는 지점을 제외하고는 둘다 연속함수이므로 관계가 없고 즉 고려해주어야할대상은 바뀌는 지점 즉 a입니다
즉 정의에따라서
리미트x>a f(x)=f(a)임을 증명해야합니다
일단 좌극한은 질문자께서 말하신데로하면g(x)함수를 따르고 우극한은 h(x)를 따릅니다
연속임을 정의하였으므로 g(x)함수자체는 좌극한과 우극한이 같고 이때의 함수값이 같으므로 좌극한은 즉 g(a)와 같고 우극한도 똑같은 원리로 h(a)와 같습니다
즉 이러한 원리로서 증명합니다
2번째질문입니다
일단 위에서 연속임을 증명했다를 가정으로 깔고 설명드리겠습니다
연속이 증명되었으니 미분가능의 정의로서 증명하면됩니다
만약 두 함수가 미분가능인경우로 주는 경우가 대부분입니다(아닐경우 그냥 정의로서 증명해야합니다)
두 함수가 각각 미분가능한 그래프라고 가정하면 즉 미분가능의 정의가 lim x>a f(x)-f(a)/x-a가 존재하면되고 좌극한 우극한이 수렴하면됩니다
좌극한은 g(x)를 따르고 우극한은 h(x)를 따르는데 미분가능을 전제하면
g(x)는 x는 a에서의 미분가능의 정의에서의 좌극한은 g'(a)와 같고 마찬가지로 우극한도 처리해서 계산하시면 됩니ㄷ
즉 g'(a)=f'(a)이면 미분가능입니다
그리고 엄밀하게 좌미분계수 우미분계수는 틀린표현입니다
미분한함수의 좌극한을 묻는것과는 엄밀하게 차이가 있습니다
반례로서 xsin1/x가 있습니다
도함수는 연속이나 미분불가능합니다
으어..!!! 길고 자세한 답변 감사합니다 ㅠㅠㅠ 음 그럼 대체로 제 생각이 맞는 거네요? ㅋㅋㅋ 감사합니다 ㅠㅠㅠ
그런데 두 번째 댓글에서 '좌/우미분계수'가 틀렸따는 것은 어떤 뜻이죠..? ㅠㅠ... 미분가능할 때, {f(x)-f(a)/}/(x-a)의 좌극한이 좌미분계수고, 그는 곧 도함수의 함숫값 아닌가요? ㅠㅠ
으어..!!! 길고 자세한 답변 감사합니다 ㅠㅠㅠ 음 그럼 대체로 제 생각이 맞는 거네요? ㅋㅋㅋ 감사합니다 ㅠㅠㅠ
그런데 두 번째 댓글에서 '좌/우미분계수'가 틀렸따는 것은 어떤 뜻이죠..? ㅠㅠ... 미분가능할 때, {f(x)-f(a)/}/(x-a)의 좌극한이 좌미분계수고, 그는 곧 도함수의 함숫값 아닌가요? ㅠㅠ
으어..!!! 길고 자세한 답변 감사합니다 ㅠㅠㅠ 음 그럼 대체로 제 생각이 맞는 거네요? ㅋㅋㅋ 감사합니다 ㅠㅠㅠ
그런데 두 번째 댓글에서 '좌/우미분계수'가 틀렸따는 것은 어떤 뜻이죠..? ㅠㅠ... 미분가능할 때, {f(x)-f(a)/}/(x-a)의 좌극한이 좌미분계수고, 그는 곧 도함수의 함숫값 아닌가요? ㅠㅠ
으어..!!! 길고 자세한 답변 감사합니다 ㅠㅠㅠ 음 그럼 대체로 제 생각이 맞는 거네요? ㅋㅋㅋ 감사합니다 ㅠㅠㅠ
그런데 두 번째 댓글에서 '좌/우미분계수'가 틀렸따는 것은 어떤 뜻이죠..? ㅠㅠ... 미분가능할 때, {f(x)-f(a)/}/(x-a)의 좌극한이 좌미분계수고, 그는 곧 도함수의 함숫값 아닌가요? ㅠㅠ
음 좌미분계수라고 말하는거는 말하는 것의 편의를 위해서입니다.
자칫 혼동하면 미분그래프에서의 a에서의 좌극한과 동일하다고 생각하기 쉬우나
미분계수의 정의에서의 좌극한과 도함수에서의 좌극한은 엄연히 다른 개념입니다.
아하......
그러면 저기서 좌미분계수를 {f(x)-f(a)}/(x-a)가 x->a-0일 때, 우미분계수를 x->a+0일 때라고 생각하면 틀린 점 없는 거네요..?
감사합니다!!!!!!!