[학습 목표] 사걱세의 수능 수학영역 클레임을 반박할 수 있다.

사걱세가 9평에 이어 수능에 대해서도 6문항에 대해 교육과정 외라면서 클레임을 걸었군요.

저번과 같이 하나하나 조목조목 반박해보도록 합시다.

!! 들어가기에 앞서 !!

이 글에서는 틈만 나면 교과서를 언급합니다. 그 이유는,

1. 검정도서로서 교육과정에 충실함이 이미 검증되었고,
2. 공교육에서 쓰이는 교재이므로 사교육을 탓할 수 없기 때문입니다.

그럼 이제 반박을 시작해봅시다. (분석은 하십시오체가 아닌 해라체로 진행하겠습니다.)

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#14번-1. 사걱세 주장: "복잡한 극한은 다뤄서는 안 된다."

[ 반박 ]

요약: 교과서에는 도형과 극한을 섞은, 더 복잡한 문제도 있다.

사걱세의 클레임대로라면, 함수의 극한 관련 문제는 오로지 연속과 미분의 이전 단계로서 존재해야 한다. 하지만 교과서의 다음 문제(미래N 수학2 47쪽 대단원평가 22번)를 살펴보자.

분명히 이 문제는 극한을 도형과 섞고 있다! 그래프의 교점의 개수를 세는 것은 함수와 좌표평면의 영역인데, 이 문제의 경우 극한을 도형(심지어 합동이나 닮음을 쓰는)과 섞는 문제로, 분명히 개념의 융합 면에서는 더 복잡한 문제다.

다시 말해, 교과서에서 이런 정도의 문제를 냈다는 것은 수능에서 저 정도의 복잡도를 가진 문제를 내는 것은 문제가 되지 않는다. 그래프의 개형추론이 복잡할지언정 교육과정을 넘어서지는 않는다는 것이다.

#14번-2. 사걱세 주장: "경우의 수가 복잡하게 나뉜다."

[ 반박 ]

요약: 애초에 7가지의 경우로 나누는 것을 바라고 만든 문제가 아니다.

논리적으로 생각해보자. 저 문제를 풀 때 경우를 7가지로 나누어 사고하는 것은 매우 비효율적이다. EBS의 풀이는 격식적인 풀이의 한계로 그래프의 꼭짓점이 움직이는 모습을 기술하기 어렵기 때문에 어쩔 수 없이 경우를 모두 나누어 조사한 것일 뿐이다.

실제로는 우선 g(t)가 연속인 경우부터 생각하면 3g(t) = 9에서 g(t) = 3이기만 하면 주어진 방정식을 만족시킨다. 따라서 g(t) = 3인 t의 값이 무한히 많도록 해서는 안 되므로, 이차함수의 꼭짓점은 삼차함수의 극소보다 위에 있으면 안 된다는 사실을 바로 알 수 있다. 이렇게 되면,

1. 이차함수의 꼭짓점이 삼차함수의 극소점과 같은 y값을 가지는 경우
2. 이차함수의 꼭짓점이 삼차함수의 극소점보다 아래에 있는 경우

로 경우를 두 가지로 줄여 논리를 전개해 나갈 수 있으므로 고려할 경우의 수는 결코 많지 않다.

수학에서 이와 같이 경우의 수를 줄여 나가면서 추론하는 것은 핵심적인 사고 기법이다. 이러한 사고 기법을 무시한 채, 지극히 피상적으로 "전체 경우의 수가 많으니 교육과정 외"라고 주장하는 것은 수학의 본질을 흐리는 나쁜 행태이다.

또한, 사걱세의 주장과 같이 고려할 전체 경우의 수가 많은 것 자체를 문제삼게 된다면, 다음 교과서 문제(비상 수학2 익힘책 155쪽 19번)를 보면 논란이 종결된다. 

이것을 곧이곧대로 경우를 나누어 풀려고 한다면, y = f(x)와 y=k, y=-k의 위치관계 6가지를 모두 고려해야 한다. 이는 당연히 말도 안 되는 풀이이고, 실제 풀 때는 직관과 경우의 수 줄여나가기를 이용하여 훨씬 적은 수의 경우만을 고려하여 문제를 풀 수 있다.

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#15번-1. 사걱세 주장: "경우의 수가 너무 많다 (64가지!)"

[ 반박 ]

요약: 위의 14번-2와 같은 내용. 

다음은 필자가 쓴 풀이 중 일부이다.

우선 그들의 클레임과는 달리 이전 항을 추론할 때마다 몇 가지 경우가 제외되어 실제 계산해야 하는 경우의 수는 훨씬 더 적다. 또한 규칙성을 이용할 수도 있다:

위 그림에서 옅게 네모친 부분과 짙게 네모친 부분을 비교해 보라. 즉, 수열이 같은 귀납적 관계로 이어지기 때문에 a₅ = 2에서 고려했던 경우의 수를 재활용하면 된다! 이렇게 되면 고려할 경우의 수가 더 많이 줄어든다.

사걱세에서 제시한 64가지의 경우의 수는 문제를 직접 풀어보지 않은 티가 날 정도로 실제와 동떨어진 크기의 수이다. 교육과정에 위배된다고 볼 수 없다.

#15번-2. 사걱세 주장: "기호기호기호기호기호기호기호기호"

[ 반박 ]

요약: 그놈의 기호 타령;;;;;

제발! 기호가 아예 정의되지 않은 것이 아닌 이상 문제가 없다는 것을 왜 이해하지 못하는가!

수학의 가장 중요한 정체성 중 하나가 기호의 확장성이다. 적은 수의 기호와 정의로서 많은 수의 지식을 추출해내는 것이 수학의 본질인데, 이것을 싸그리 깡그리 무시하고 "기호 여러 개를 조합했다"는 이유 하나만으로 "교육과정 외"라고 단정짓는 것은 (다시 말하지만) 수학이라는 학문 자체에 대한, 그리고 수학 교육 전반에 대한 무시이자 모독이다.

그리고... 음.... 그게 말이죠,

교과서(지학사 수학1 160쪽 스스로 마무리 4번)에 너무 버젓이 있는데...? 그것도 그대로?

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#22번-1. 사걱세 주장: "대학수학대학수학대학수학대학수학대학수학"

[ 반박 ]

요약: 대학수학 교과서에 나온다고 고등학교 과정에 없는 것이 아니다.

(+) 22번에 나온 식은 함수방정식조차도 아니다.

별 말 할 것도 없이 교과서 문제(비상 수학2 익힘책 155쪽 5번)에 너무나 익숙한 다음 함수 방정식이 나온다.

심지어는 학부 3~4학년 때 배우는 일계 비선형 미분방정식(지학사 수학2 71쪽 중단원 학습점검 10번)까지 나온다!

당연히 이것은 대학교 수준이 아니다. 함수방정식이 나왔다고 해서 고등학교 수준을 벗어나는 것이 아니라는 이야기다.

하지만 이것보다 더 중요한 것은 22번 문제에 함수방정식 따위는 없다는 것이다! 22번 문제에서 사걱세가 문제삼은 부분은 바로

" f(k+1)f(k-1)<0인 정수 k의 값이 존재하지 않는다. "

인데, 이건 함수방정식이 아니라 부등식이다. 또, 일반적인 함수방정식이 모든 실수나, 측도*가 양수인 집합을 정의역으로 하는 데에 반해, 이 부등식은 정수에 대하여 성립하지 않는다는 진술로서, 함수방정식과 정말 아무런 일말의 관련성도 찾아볼 수가 없다.

*측도: 집합의 "넓이"나 "부피"와 비슷한 개념이다. 

이 발문의 포인트는 바로 f(x) = 0이 되는 정수 x가 반드시 존재한다는 추론! 이와 더불어 f'(1/4) < 0라는 점을 이용하면 f(-1) = 0 또는 f(1) = 0이고, 또한 f(0) = 0임을 알 수 있다. 22번 문제는 이와 같이 정수에 관한 조건을 해석하고 삼차함수가 감소하는 구간을 추론하여 함수를 찾아내는 참신한 문제다.

사걱세의 이러한 클레임은, 22번이 단지 가장 어려운 문항 위치에 있다는 것만으로 문제삼으려고 하는 편파적 시각으로 점철된, 비합리적인 억지에 불과하다.

#22번-2. 사걱세 주장: "너무 복잡하다"

[ 반박 ]

요약: 학생들을 변별해야 하는 시험에 복잡하게 구성된 문제가 없는 것이 오히려 이상한 것.

우선, 용어부터 똑바로 하자. 22번은 도함수를 활용한 적이 없다. 미분계수만을 활용했을 뿐.

EBS의 해설 시간은 문제를 완벽하게 격식적으로 풀이하기 위해 걸리는 시간일 뿐, 실제 문제에서는 EBS 풀이 과정 중 많은 수를 건너뛰면서 풀게 된다.

또한, 주어진 박스조건을 이용하면 그래프의 대부분을 이미 추론할 수 있고, 미분계수를 이용하여 방정식을 푸는 과정을 두 번만 거치면 답을 얻을 수 있다.

이렇게 푸는 과정이 쉽지는 않다. 사실, 일반적인 학생에게는 매우 어렵다. 하지만 사걱세의 요구대로 문제를 모두 쉽게 만들면 학생들을 변별하는 것이 아예 불가능하다. 본인들의 입김을 작용하여 교육과정을 마음대로 줄여놓고서 시험문제까지 쉽게 내라는 심보는 일반적인 생각으로는 이해하기 어렵다.

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#확30번. 사걱세 주장: "정규분포 확률의 최댓값은 교육과정 외"

[ 반박 ]

요약: 교과서에 있는데요..?

우선 문제가 되는 확률은

P(t² - t + 1 ≤ X ≤ t² + t + 1)

이다. 이것의 최댓값을 구하라고 한 것인데, 이를 표준정규분포 Z에 관한 것으로 바꾸면

P(t - 1 ≤ Z ≤ t + 1)

가 된다. 이것의 최댓값을 구하라는 것. 그런데 교과서(천재이 확률과통계 113쪽 중단원 연습문제 10번)에 이와 동일한 종류의 문제가 실려있다.

즉, 이번 확통 30번은 교육과정을 벗어난 문제가 아니라, 공교육 내의 여러 가지 유형들의 문제를 융합하여 어려운 문제를 출제해낸 것이다. 이는 정확히 수학 교육이 지향해야 하는 바로, 수학에서 개념의 융합은 필수불가결이기 때문이다.

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#미28번-1. 사걱세 주장: "너무 어려워서 교육과정 외"

[ 반박 ]

요약: 복잡한 방식으로 정의되는 함수는 교과서에도 있음.

너무나 당연히, 함수를 복잡하게 정의하는 것은 문제가 되지 않는다. 다음 교과서 문제(비상 미적분 112쪽 수행과제)에서도 볼 수 있듯이, 함수가 역삼각함수로써 정의됨에도 불구하고 교과서에 실려있는 모습이다. 교육과정 내에서 충분히 이와 같이 복잡한 함수에 관한 문제를 해결할 수 있다는 뜻.

"복잡성"에 대한 말이 너무 모호해서 더이상 반박할 말도 없다.

#미28번-2. 사걱세 주장: "기호기호기호기호기호기호기호"

[ 반박 ]

요약: 지겹다.

길게 쓸 것도 없이 바로 교과서를 대령하겠다. (천재이 확률과통계 105쪽 본문)

다음. (비상 미적분 136쪽 본문 문제 2번 (2))

다음. (지학사 미적분 90쪽 본문 문제 1번 (4))

더 나열할 필요가 없을 것 같다.

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#기30번. 사걱세 주장: "벡터크기 최댓값을 변형을 통해 구하게 하면 안 됨"

[ 반박 ]

요약: 벡터의 크기의 최댓값을 구하는 것, 벡터를 쪼개서 생각하는 것 모두 교과과정 내의 풀이법임.

다음 문제(천재류 기하 114쪽 스스로 마무리하기 19번)를 보자.

이 문제의 경우 벡터 PB를 분해하여 두 벡터 PH와 HB의 합으로 나타내어야 풀리는 문제다. 즉, 아무런 힌트도 없이 벡터를 쪼개는 것은 교육과정 내의 풀이법이다.

그리고, 벡터의 크기를 쪼개서 구하는 것, 교과서(비상 기하 익힘책 159쪽 23번)에 있다.

더이상 이야기할 것이 없는 것 같다.

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새벽 5시라 글에 다소 짜증이 묻어나 있을 수 있지만 양해해 주시기 바랍니다. ㅠㅠ

이것으로 사걱세의 클레임이 모두 반려되어야 한다는 것이 어느 정도 주지가 되었으면 좋겠습니다.

만약 이 내용에 동감하신다면 이 글을 되도록 많은 분들께 전달해 주시면 감사하겠습니다.

사걱세의 이러한 부당한 클레임, 더 이상 손놓고 보아서는 안 됩니다.

이상 서울대학교 수리과학부생 Rey였습니다.