미적분 표준편차 추측 (표준점수 폭발 관련)

* 상위권 표본들을 모아, 원점수 총점 범위 별로 미적분을 몇 개나 틀렸는지 분류한 표입니다. 비교 대상은 작년 수능입니다.

* 전체 표본 개수는 작년 수능과 올해 수능 모두 461개로 통일

* 등급컷 추정은 

국어 : https://orbi.kr/00065314762

수학 : https://orbi.kr/00065387592

을 확인하시기 바랍니다. 본인 점수가 몇 등급일지, 표점 백분위가 얼마일지에 관한 질문은 받지 않도록 하겠습니다

(1) 미적분 만점자

96~98점 : 작년 표본은 공통을 틀린 사람이 대부분이었는데, 올해 표본은 선택을 틀린 사람이 살짝 더 많습니다.

92~95점 : 작년 표본은 그래도 미적분 만점이 생각보다 꽤 있는 편인데, 올해 표본은 전멸 직전입니다.

91점 이하 : 작년 표본은 소수이긴 해도 그래도 약간 있기는 했습니다. 올해 표본은 전멸이네요.

미적분 26점 예상 비율 

≈ (100점 비율) + (96점 비율) * 0.5 + (92점 비율) * 0.1

≈ 0.5% 정도일 듯

(2) 미적분 1개 이하로 틀린 경우

92~95점 : 작년 표본은 미적분에서만 2개 틀린 경우가 별로 없는데, 올해 표본은 많이 늘어난 것 같습니다. (7% -> 28%)

88~91점 : 여기가 정말 차이가 극명하게 나타나는 것 같은데, 옛날에는 66+22도 꽤 대중적인(?) 점수 조합이었는데 올해는 찾아보기가 많이 힘들어진 것 같았습니다. 기분 탓이 아니라 정말 찾아보기 힘들어졌네요.

84~87점 : 작년 표본에서는 이 구간에서도 미적분을 하나 이하로 틀린 경우가 41%나 되는데, 올해 표본은 이미 위에서 거의 전멸했으니까 더 이상의 설명은 필요 없을 것 같습니다.

미적분 22점 이상 예상 비율 

≈ (96점 이상 비율) + (92~95점 비율) * 0.75 + (88~91점 비율) * 0.15 + (84~88점 비율) * 0.1 + (80~83점 비율)*0.03

≈ 2.5% 정도?

(3) 미적분 2개 이하로 틀린 경우

88~91점 : 작년 표본은 전원이 미적분을 2개 이하로 틀렸는데, 올해 표본은 아니지만 미적분에서만 3개 틀린 사람이 있기는 합니다. 3%라 그렇게 의미있는 수치는 아닌 것 같네요.

84~87점 : 작년 표본은 이 구간에서도 대부분(92%)이 미적분을 2개 이하로 틀렸습니다. 올해 표본은 50%로 확 떨어졌네요.

80~83점 : 이 구간에서도 두 연도의 차이가 극명하게 보이고 있는 것 같습니다... 

작년 수능에서는 70점대에서도 미적분 2개 이하로 틀린 사람들이 꽤 보이는 반면, 올해는 벌써 이 구간부터 전멸 직전입니다.

미적분 18점 이상 예상 비율 

≈ (88점 이상 비율) + (84~87점 비율) * 0.5 + (80~83점 비율) * 0.15 + (76~79점 비율) * 0.05

≈ 7~8%?

1) 평균은 한 9점 정도 나올듯

교육청 실채점 결과랑 데이터 모은거 비교해보니까, 대충 제가 모은 데이터 평균에 0.8배 하면 실채점 평균이랑 가깝게 나옵니다. 평가원은 교육청이랑 다를 수도 있긴 한데 평가원은 실채점 평균 공개를 안하니까...

그리고 위 표에서 11점에 빨간색 친 이유는 8~14점 중에서도 11점에 가장 많은 인원이 몰려있을 것으로 추정되기 때문입니다. 

위 표에서는 18점이 가장 많지만 표본 자체가 상위권 편중되어 있기 때문에 전체적으로 보면 18점 비율은 훨씬 적고, 11점에 집중적으로 몰려있을 것 같다는 생각이 듭니다.

(+추가)

위 정보를 토대로 시뮬레이션을 몇 개 돌려봤습니다.

24점, 23점, 17점 등과 같이 인원이 별로 없을 것 같은 점수는 제외하였습니다.

일단 18~26점은 나름 비율에 대한 근거를 설명했으니 수정하지 않기로 하고

15점은 한 2%로 배정하면 적당할 것 같아서

2점 ~ 14점 비율만 수정하면서 표준편차를 관찰했습니다

[시뮬레이션1]

제가 생각했던대로 8~14점 비율을 69%, 0~5점 비율을 20%로 가정하고 평균과 표준편차를 구했습니다. 

평균이 10.05점, 표준편차가 4.73점이 나왔네요. 

원래 14점 비율을 한 20% 정도로 생각했는데 그렇게 잡으면 평균이 많이 커집니다. 사실 10.05점도 제 생각보다는 높은 것 같습니다.

표준편차가 4.73점이면, 100점 만점인 시험 기준으로 표준편차가 18.2점이기 때문에 상당히 작은 수치입니다. 

이때 선택과목에서 만점을 받으면 Z=3.37이 나오네요... 

(Z값을 잘 모르시는 분들도 계실텐데, 나중에 포스팅해드릴겁니다. 표준점수의 원론적인 이야기에 관해서 글을 하나 올리려고 하는데 거기에 소개되어 있습니다. 근데 하나 알아두실건... Z=3.37이면 정말 어마어마한 수치입니다. 이런 인원 분포를 가진 100점 만점 시험지가 있으면 그 시험지의 만점 표준점수는 167.4점이 나옵니다.)

[시뮬레이션2]에서는 

평균을 낮추기 위해 11점이 가장 많을 것이라는 고정관념을 깨고, 14점과 11점 비율 일부를 떼어 8점으로 넘겼습니다. 평균은 줄었는데 표준편차도 줄었네요. 안 그래도 표준편차가 상당히 작아서 더 안 줄여도 될 듯 한데... 이때 만점 Z=3.43이 나옵니다. 

[시뮬레이션3]에서는

평균을 제가 처음 생각했던 9점으로 낮추기 위해 5점 이하의 비율을 확 늘렸습니다. 

5점 이하의 비율을 무려 33%까지 늘렸는데요(실제로 저 정도나 될진 모르겠지만...), 평균은 제가 목표한 만큼 줄인 대신 표준편차는 살짝 커졌네요.

그런데 5.03점도 절대 큰 표준편차가 아닙니다. 원래는 6점 근처는 나와야 정상적인건데 지금 표준편차를 늘릴 사람(18점 이상)이 상당히 없어지다보니 표준편차가 말도 안되게 떨어졌습니다...ㅋㅋ

시뮬레이션3에서는 만점을 받았을 때 Z=3.38이 나옵니다. Z값은 여전히 미쳐 돌아가네요

혹시 다른 시뮬레이션 의견 있으신 분들은 댓글 달아주시기 바랍니다.

(ex. 14점과 11점 비율을 이렇게 저렇게 해서 돌리면 어떨까요?)

위에서 계산한 평균과 표준편차는 나중에 미적분 만점 표준점수 계산 시뮬레이션에 사용할 예정입니다.

2) 제가 갑자기 표준편차에 관심을 갖는 이유가 있습니다.

미적분 표준점수 공식 Ax + By + C에서 x계수(A)와 y계수(B)는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

대충 

미적분 선택자의 공통과목 표준편차 = 18, 

미적분 선택자의 선택과목 표준편차 = 6

이라 하면 

B   =   3 × 26/74 × A   =   78/74 × A

가 됩니다. 

A가 정확히 얼만지는 몰라도 이 경우에는 B가 A보다 크다는 것을 알 수 있습니다.

B는 선택과목 표준편차에 반비례하는 특징이 있는데, 위와 같은 분포면 표준편차가 도대체 얼마나 작게 나올지... 

그동안 일반적으로 6은 넘었을텐데 이번에는 5도 안 나올 수 있겠다는 생각이 드네요. 

표준편차가 5 미만만 나와도 B가 A보다 훨씬 커져서 미적분 선택자는 선택틀이 공통틀보다 압도적으로 불리한 상황이 펼쳐지고, 

미적분 선택과목에서 한 문제 맞힐때마다 표준점수 증가폭이 커져서 확통과 기하와의 표준점수 차이가 커질 가능성이 큽니다.

* C는 0점 표준점수입니다. (x=0, y=0일 때 C 나오는거니까)

구하는 식은 A, B보다 훨씬 복잡해서 안 쓰긴 했는데 대충 평균이랑 표준편차가 복합적으로 얽혀있는 형태입니다.

너무 복잡해서 자세한건 설명 안하는데, 특징이 하나 있다면 A 또는 B가 너무 커지면 C는 감소하는 경향이 있습니다. 따라서 A 또는 B에 의한 표준점수 폭주를 어느 정도 억제하는 역할을 합니다.

그래서 표준점수가 제가 생각한만큼 높게 나오지 않을 가능성도 있어요. 그간 데이터를 보면 미적분 C가 원래 65~67 정도는 나왔는데 B 폭발했다고 갑자기 62 같은게 나와버리면 만점 표준점수가 당연히 150을 못 넘겠죠?ㅎㅎ.. C가 얼마일지도 큰 변수가 될 것 같네요