국제수학올림피아드 전설의 문제(aka 비에타점핑)-뻘글
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1988 호주 IMO(international math olympiad)에서 출제된 문제입니다. 이 문제를 호주 출제진 6명은 모두 풀지 못했고, 그들이 정수론 학자 4명에게 보내 6시간 안에 풀도록 하자 한 명도 풀지 못했다고 합니다. 현재 제가 알기로 역대 imo 정답률 뒤에서 2등이었나..
imo는 이틀 동안 6문제를 푸는데, 3번과 6번이 가장 어렵답니다. 그리고 실제로 이 7점 만점의 문제에서 절대 다수의 학생들은 1점 이하의 점수를 받게 됩니다. 그 유명한 테렌스 타오도 1점에 그치죠
그러나 항상 그렇듯이 만점자들은 존재하는데, 그 중 베트남 학생이 풀어낸 방법은 정수론의 새 이론을 만들어냅니다.
그것이 바로 “비에타 점핑”입니다.
근데 비에타가 뭐냐? 비에타의 정리라는 게 있는데,
바로 “근과 계수의 관계”의 일반적인 기술에 불과합니다. 해당 학생은 근계수, 귀류법을 통해 난제의 새 국면을 창시한 거죠
참고로 테렌스 타오는 베트남 친구에게 대회가 끝나고 귀류법이라는 단어를 듣더니 도망갔다고 합니다.ㅎㅎ
여러분도 한 번 생각해 보실래요? 풀이는 아래에 있습니다.
원래는 제가 구어체로 치려고 했으나 노트북이 집에 있네요 ㅜ.ㅜ 블로그를 가져왔습니다
아, 정렬성의 원리가 뭐냐면, 아르키메데스였나ㅜㅜ..가 논증한 기본 정리로, 집합 S에서 원소의 합을 오름차순 정렬 가능하다는 얘기로 받아들이시면 되겠습니다. 자연수들이므로 받아들이기 크게 껄끄럽지 않습니다.
이때 귀류를 통해 정렬성의 모순을 발견하는 것이 이 방식의 핵심입니다.
해당 방법은 이 문제 외에 다양한 문제에 써먹어지게 됩니다.
블로그 주인분 감사합니다..
중요한 점 또 하나는, 귀류적으로 조건을 만족하는 정수를 단정하는 유형 외에도 특수해를 잡아서 무한히 많은 해를 구하는 방법으로 응용됩니다.
그럼 그 예제 하나 첨부합니다.
가장 먼저(검색하지마)마지막 예제를 푸시는 분에게 소정의 덕코를 드리죠
경시 유경험자들은 잠시 양보를..
이런것도 학습자료가 될려나요ㅎㅎ;;(대충 옯쓱)
수능기간이 되니 별 게 다 생각났네요. 공부도 안 되는 김에 하나 올려봄요
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일단 자명해 (2,2,2,2)네요
이제 (X,Y,2,2)가 위 식을 만족한다고 합시다 그러면 (Y,X,2,2)가 위 식을 만족시킴은 자명합니다.
그러면 X^2+Y^2=4(XY-1) 입니다
이제 Y를 고정시키면
X는 t^2-4Yt+Y^2+4=0 의 한 해이기 때문에 비에타 정리에 의해서 X 말고 다른 한근은 4Y-X가 됩니다.
결국 (4Y-X,Y,2,2), (Y,4Y-X,2,2)도 위 식의 한 해가 됩니다. ... (1)
이제 수열 a_i에 대해 a_{n+2}=4a_{n+1}-a_{n} 라 합시다 (단, a_1 = 2, a_2 = 2)
그려면 모든 자연수 n에 대해 (1)에서
(a_{n},a_{n+1},2,2)는 문제에 주어진 식의 해가 됩니다.
위 점화식의 특성방정식은 t^2-4t+1=0 이고
t=2\pm\sqrt{3} 이 근입니다.
p=2+\sqrt{3}, q=2-\sqrt{3} 라 합시다.
그러면 점화식은 결국
a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_{n}) ... (2)
a_{n+2}-qa_{n+1}=p(a_{n+1}-qa_{n}) ... (3)
를 비에타 정리에서 만족시킵니다.
b_{n} := a_{n+1}-pa_{n}
c_{n} := a_{n+1}-qa_{n}
라 합시다
(2) <=> b_{n+1} = qb_{n} = q^{n} b_1
(3) <=> c_{n+1} = pc_{n} = p^{n} c_1
한편, a_{n+1}(q-p)=qb_{n}-pc_{n} = q^{n+1} b_1 - p^{n+1} c_1
=> a_{n+1} = (p^{n+1} c_1 - q^{n+1} b_1)/(p-q)
입니다.
이때 c_1 > 0 이고 \limit_{n -> \infty} a_{n+1} = \infty 이니 a_{n}은 충분히 큰 N에 대하여 n > N 일때 증가합니다.
따라서 a_{n}의 서로 다른 값들은 무한하며, 주어진 식의 해 또한 무한합니다.
수올 무상따리지만 의대논술 준비하며 배운것들로 이렇게 끄적여봅니다 ㅎㅎ
추가: c_1 > 0, b_1 < 0 이고 p > 1, 0 < q < 1때문에 양의 무한대로 발산한다고 해야 설명이 더 자연스러워지네요
오!
이거이 뭐시당까...
하.. 이런건 대학수학인데 중고등생보고 풀라고 하고 있으니....
중고등학교 교육과정으로 충분히 풀 수 있습니다. 2차 방정식에서 비에타 정리는 근과계수의 관계이기 때문에 대학별 고사에서도 충분히 낼려면 낼 수 있는 내용이긴 합니다 (물론 저런 스타일의 문제를 좋아하는 학교는 현재 없습니다)
하.. 어렸을땐 이런거 많이 했는데 나이드니깐 생각하려고 뇌에 ATP 부으니깐 뇌가 토하려고해 ㅠㅠ
ㅎㅎ재밌죠
비에타 점핑 오랜만에 보네요
의뱃이 이걸?수학과 갔으면 저런 거 해야하는구나
가형킬러보다 재밋는뎅..
저러한 문항들 몇 번 접하다 보면 재미를 느낄 수 있을 것 같긴 합니다 하지만 지금의 저로서는 ㅜㅜ
저분 나중에 필즈상까지 받으셨더라고요
imo 출전하는 사람들은 진짜 벽느껴짐
이거보다 가형 킬러가 훨씬 재밌는거보니 수학 잘나온다고 수학과갔으면 큰일날뻔했네ㅋㅋ
수학을 잘하는게 아니고 퍼즐을 잘하는거였노
ㄹㅇ 수능 수학 잼씀
수능도 재미없진 않아요ㅎㅎ이...이게뭐고..
참고)수학과 가도 저런거 안품, 못품. 그저 theorem/proof 컨셉 이해하는척 하면서 외울 뿐입니다
혹시 선배님이신가요,,
근데 저런 문제는 누가 출제하는거에요? 출제한 사람들은 풀이까지 다 알고있는거죠?
그쵸 근데 저렇게 풀진 않았던거죠 원래는
영과고 행님들 존경합니다
정보)저런 세계구급 천재들 사이에서 세계 10등안에 드는 학생들 우리나라 설곽 경곽에서 몇명씩 나온다
??? : 챗GPT야 이거 풀어줘