9모로 살펴보는 준킬러 학습법

*사고 과정 정리하는 방법, 기출 문항 분석법 등의 학습법들도 결국 누군가의 의견에 불과합니다. '공부에 정도(

定道 or 正道)는 없다'는 오래된 말처럼 각자에게 맞는 공부법을 찾아가시기 바랍니다!

현장에서 문제를 처음 확인한 후 자연스레 들 수 있는 생각은 '왜 갑자기 pi/7을 줬지? 내가 이걸 가지고 무엇을 할 수 있지?'라고 생각합니다. 제가 그랬습니다 ㅎㅎ

이어 떠올릴 수 있는 것은 몇 가지 없습니다. 다음의 수식은 항등식이긴 하나 라디안값이 같을 때 성립하고

따라서 우리는 일반적인 사인함수와 코사인함수 사이의 관계를 파악하기 위해 생각을 이어가야함을 느낄 수 있습니다.

처음 삼각함수를 공부할 때 배우는 내용인데, 사인함수를 x축 방향으로 -pi/2만큼 평행이동하면 코사인함수가 됩니다. 위에 있는 그래프를 통해 직관적으로 확인하실 수 있으십니다.

2024학년도 수능 대비 ebs 연계교재 중 하나인 수학1 수능특강 42페이지입니다.

수능특강, 수능완성이 문제의 결 혹은 질 등으로 인해 많은 수험생 분들로부터 거리두기 당하곤 하는데요... 평가원이 감수한 유일한 연계교재인 만큼 적어도 한 번씩은 풀어보시길 권해드립니다.

그리고 개념 복습할 때에도 수능 수학 풀이에 필요한 모든 개념들이 수능특강에 담겨있기 때문에, 수능특강을 기준으로 내가 잊고있던 혹은 평소에 잘 떠올리지 않던 개념이 있는지 복습해보는 것도 학습에 도움이 될 수 있다고 생각합니다!

다시 돌아와서... 그러면 사인함수의 x=pi/7에서의 함숫값과 같은 값을 함숫값으로 갖는 코사인함수의 x값에는 기본적으로 pi/7-pi/2가 존재할 것입니다. 그리고 코사인함수는 y축 대칭이므로 x=-(pi/7-pi/2)도 같은 함숫값을 만들어줄 것입니다. 그리고 코사인함수는 x=pi 대칭이므로 x=-(pi/7-pi/2)와 더해서 2로 나눈 값이 pi가 되도록 하는 어떠한 x값도 같은 함숫값을 만들어줄 것입니다.

그렇게 alpha=-(pi/7-pi/2) 확정 이후 대칭성 2번으로 beta값도 구할 수 있겠습니다.

2022학년도 6월 15번에서 ㄱ의 참 거짓 여부를 판단할 때도 엄밀한 증명을 위해서는 삼각함수 간에 대칭성을 2번 이상 적용하는 것이 필요합니다. 함께 바라봐보시면 학습에 도움이 될 것이라 생각합니다!

일단 원 이야기가 나오면 원의 중심을 설정하거나 그것에 초점을 두는 것이 좋습니다. 원의 정의 자체가 '한 점으로부터 일정 거리만큼 떨어진 점들의 자취'이기 때문에 정의 속 '한 점'에 해당하는 원의 중심이 없으면 원을 논할 수가 없기 때문입니다.

비슷한 맥락에서 일단 접선 이야기가 나오면 접점을 설정하거나 그것에 초점을 두는 것이 좋습니다. 접선의 정의 자체가 '곡선 위 한 점에서의 함숫값과 미분계수가 일치하는 직선'이기 때문에 정의 속 '한 점'에 해당하는 접점이 없으면 접선을 논할 수가 없기 때문입니다.

우선 주어진 두 접점에서의 접선의 방정식을 위와 같이 작성해볼 수 있겠습니다.

'곡선 위의 점 (2,3)'이라는 발문에서 f(2)=3 확인하는 것도 놓치지 마시기 바랍니다!

여담이지만 다항함수 결정 문항은 결국 다음과 같은 꼴에서

미지수 a, b, c, d의 값을 결정하는 과정과 같습니다. 그래프를 그려 기하적으로 접근하든 수식으로 접근하든...

두 직선이 점 (1, 3)에서 만난다는 조건에 의해 위의 등식을 세울 수 있을 것이고

이와 같이 정리해볼 수 있겠습니다.

f'(2)=0이라는 조건이 상당히 강력합니다! 삼차함수는 극값이 최대 2개밖에 존재하지 않기 때문에 순간변화율이 0인 지점은 극대 아님 극소입니다. 따라서 f'(2)=0이라는 조건으로부터 함수 f(x)가 x=2에서 극대이냐 극소이냐, 두 가지 경우를 나누어주시면 문항을 해결해보실 수 있으실 거예요!

이후는 그래프를 그려 두 가지 경우를 고민해보셔도 괜찮고... 혹은 f(x)-3=(x-2)^2(x-k) 정도로 수식 잡고 3f'(2)+f(-2)=3 이용해보셔도 좋습니다. 아니면 그래프 슥 그려본 다음에 f(x)-(p(x-1)+3)=(x-1)(x+2)^2로 잡고 뭐 해보는 것도 괜찮겠죠! 상남자식으로 ax^3+bx^2+cx+d 잡고 a, b, c, d 구해보기도 한 번쯤 해보시길 권해드립니다 ㅋㅋㅋㅋ 서로 다른 네 가지 정보가 주어져야 네 가지 미지수 a, b, c, d를 결정할 수 있는데 어떤 조건들이 어떻게 기능하여 총 네 가지를 채우는지 관찰해보는 것 재밌습니다.

적당한 접선의 방정식 문항은 꾸준히 출제되고 있으니 수식으로 밀어붙이는 것과 그래프 그려 기하적으로 상황 정리하는 것 모두 연습해두시기 바랍니다!

괜히 교육과정에서 접선에 관한 세 가지 상황을 분류하여 다루는 것이 아니니 한 번씩 복습 권장드립니다! 물론 수학적 재능이 뛰어나거나 두뇌가 발달하신 분들은 이러한 생각들이 머릿속으로 자연스레 돌아가기 때문에 '저걸 굳이 복습해야하나?'라는 생각이 드실 수 있습니다만... 저를 비롯한 대부분의 수학적 재능이 결여된 분들은 이렇게 하나 하나 정리하고 복습하는 것이 쌓여야 원래부터 수학을 잘하는 분들과 조금이나마 비슷한 사고의 흐름을 만들어낼 수 있다고 느꼈습니다. 제가 한완수를 수능 수학 학습 자료로 적극 추천하는 이유이기도 합니다.

구간 별로 다른 함수식으로 정의된 함수는 일단 구간 별로 정보를 파악해보는 것이 도움이 될 수 있습니다.

확인해보시면 f(x)는 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수이기 때문에 구간 별로 도함수를 작성하여 증감에 대한 이야기를 하기가 문제 없다는 것을 확인하실 수 있으십니다.

원래 구간 별로 도함수 식을 작성할 때는 x=0과 같은 그 경계에서의 미분가능성이 조사되지 않은 때가 많아 부등식에서 등호 빼두는 것이 안전합니다! 다만 지금은 f(x)가 x=0에서 미분가능함을 확인할 수 있기 때문에 편하신 쪽에 등호 포함해도 괜찮습니다. 저는 습관적으로 일단 빼두고 생각하는 편입니다!

구간 별로 도함수 식을 작성한 후에는 각 구간 모두 x=-a에서 대칭인 이차함수가 도함수로 존재하고 있음을 확인하실 수 있습니다. 따라서 원활한 상황 정리를 위해... f'(x)는 x=0에서 함수식이 전환되고 각 구간의 함수는 x=-a에 대칭이므로 -a와 0의 대소 관계를 비교해봅시다.

x<-1에서는 주어진 미분가능한 함수 f(x)가 감소하고 x>-1에서는 증가한다는 것은 다음이 성립함을 의미할 것입니다.

그럼 다음의 상황을 생각해볼 때 

다음을 논리적으로 구하실 수 있습니다.

과하게 엄밀하지 않느냐 말씀하실 수도 있지만, 개인적으로 이렇게 하나 하나 직접 엄밀하게 따져가며 풀이 과정을 정리해가는 것이 적은 문제 풀이로도 수능 원점수 100점 수렴을 향해갈 수 있는 방법 중 하나라고 생각하고 있습니다!

뒷부분은 a와 0 대소비교 경우 나누기와 f'(-1)=0으로 a, b에 대한 관계식 하나 확보로부터 이어나가 보시고... 이러한 엄밀한 분석과 관련해 잠시 이야기를 더 이어가보겠습니다.

2022학년도 9월 22번에 주어졌던 함수 g(x)의 저 복잡한 부분을 엄밀히 해석해보십시다.

우선 극한식을 가만히 보고 있으면 미분계수의 정의와 닮았다는 생각이 드실 수 있습니다.

만약 들지 않는다면... 미분계수 파트 복습 외에는 따로 도움이 될 만한 학습법이 현재로선 떠오르지 않습니다.

혹은 직관적인 추측으로 주어진 극한식이 의미하는 것이, 극한이 수렴할 때 함수 ㅣf(x)ㅣ의 미분계수의 2배임을 발견하실 수도 있겠습니다. 그런데 이게 더 어려운 것 같으니 넘어가겠습니다.

(첨언하자면 수학2에 대한 보다 깊이있는 이해를 쌓고 싶으신 분들은 현 교육과정 상의 고등학교 미적분을, 미적분에 대한 보다 깊이있는 이해를 쌓고 싶으신 분들은 '스튜어트 미적분학'과 같은 책 한 권 사서 읽어보시길 권해드립니다! 당연히 수능 수학을 향한 효율적인 공부는 아니고 수학에 대한 전반의 이해를 높이기 위한 학습법이라 생각합니다)

위의 생각에서 이어가 다음과 같은 식 변형을 이루어보시면..

변수와 특정 상수값과의 차이를 명확하기 위해 x=a 정도를 대입해봤을 때 

함수 p(x)의 x=a에서의 평균변화율의 우극한과 좌극한의 합, 다시 말해 x=a에서의 우미분계수와 좌미분계수의 합을 주어진 극한이 의미하고 있었음을 확인하실 수 있으십니다.

이후는 f(x)에 관한 정보도 아무것도 주어져있지 않기 때문에 적당한 그래프를 그려보고.. 

그에 따른 k(x)의 형태를 살펴보시면 좋겠습니다! 그 다음에 (가) 조건으로 상황 정리하고 (나) 조건으로 수치 결정해서 f(x) 확정 지으시면 되겠습니다.

2024학년도 6월 21번의 경우 주어진 등차수열의 7번째 항이 13의 배수라는 데에서 순서쌍 몇 가지, 등차수열의 합이라는 새로운 수열을 7번째 항까지 더한 값이 644라는 점에서 순서쌍 몇 가지를 구해 둘 모두를 동시에 만족하는 순서쌍을 구해주시면 되는 문항이었습니다!

이와 같이 등차수열이 n에 관한 일차함수이고 등차수열의 첫째항부터 n번째 항까지의 합이 원점을 지나는 n에 관한 이차함수라는 점을 이용하여 식 세워 상황을 정리해보셔도 좋고

교과서에서 소개하고 있는 등차수열의 합 공식을 직접적으로 활용하셔도 좋습니다! 결과는 같습니다.

혹은 시그마의 정통 사고법을 따라서.. 직접 다 나열해본 다음에 다시 정리해보는 방법도 있지만 어차피 이렇게 해도 k에 대한 이차식에 시그마를 적용해야하기 때문에 노동 강도에의 차이는 없다고 느꼈습니다.

분명 더 아름다운 풀이가 있을테지만 저는 수학적 재능이 뛰어난 사람이 아니라 수학을 못하던 고등학생에서 100점 수렴에 성공한 사례이기 때문에... 먼 미래에 떠올려보겠습니다 ㅋㅋㅋㅋ

순서쌍 잡아 일일이 확인해본다는 점에서 2022학년도 9월 13번이 떠올랐었습니다. 함께 살펴보시면 좋겠습니다!

이렇게 한 가지 시험지를 갖고도, 그리고 통합 수능 이후의 평가원 시험지들만을 갖고도 문항 간 공통점과 차이점을 재밌게(?) 분석해볼 수 있음을 글로 작성해봤습니다!

제가 질의응답이나 수업 진행으로 수험생 분들께 도움을 드리는 방식과 상당 부분 일치하니 저와 직접적인 접점이 없는 분들도 이 글을 통해 학습에 도움 받아가셨으면 좋겠습니다. 

새로운 관점과 다른 의견, 피드백 환영입니다! 감사드립니다

p.s. 과외생 분 전달해드리려 작성하다가.. 오랜만에 글이 조금 써지는 것 같아서 공개적인 공간에도 공유해둡니다!