[수1 자작 문항] 지수로그함수의 그래프
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dx/dt=0 조건은 별 거 아니고 x가 t에 대한 함수라고 말할 수 있을 때, 정의역에서 미분계수가 항상 0임을 뜻합니다.
미적분 선택자시면 'x가 t에 대한 음함수로 정의되고 도함수가 0이다'로 받아들이시면 될 듯합니다.
의미는 t가 변할 때 x가 영향을 받지 않는다는 뜻으로 문제 상황에서는 'x와 t가 개별적인 독립 변수다'라고 이해해도 괜찮겠습니다.
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x와 t는 dx/dt=0 조건에 따라 서로에게 영향을 주지 않습니다. f는 x에 관한 함수임을 생각하면 로그함수 개형 잡아보시면 되고, g는 t에 관한 함수임을 생각하면 이차함수 개형 잡아보시면 됩니다. M, m이 각각 x 혹은 t에 관한 식을 제시될 것인데 이때 x와 t의 범위가 각각 주어졌으므로 M, m값을 결정하실 수 있을 거예요 ㅎㅎ
음함수는 그냥 x랑 연관되어 있어서(x에 따라 변하는 넘) 미분치면 상수처럼 죽이면 안되고 변수로 봐서 dt /dx가 튀어나온다 <- 평생을 여기까지만 알고 살아온 1인 ㅋㅋ
별 거 없이 y=f(x)라고 명백하게(explicit function, 양함수) 이야기해주지 않고 y라고만 있어도 x가 변할 때 변한다면, 즉 영향을 받고 x값 하나에 y값도 하나씩 대응된다면 우리가 함수라고(implicit function, 음함수) 말한다는 거죠. 보통 F(x, y)=0 꼴로 x와 y가 섞인 방정식 형태로 제시되는데... 고등학교 수학에는 음함수임을 기정 사실화 한 채로 dy/dx 표기만 연산할 때 잘 해주면 되지만 실제로는 '이것이 언제 음함수로 정의된다고 확신할 수 있는가?'를 조사하는 음함수 정리(implicit function theorem) 같은 것도 존재하죠!
이를 바탕으로 생각해볼 때 본문의 문제 상황에서 x와 t가 서로 영향을 주고받지 않은 독립변수다... 다시 말해 종속변수 y에 대해 y=(대충 본문에 주어진 함수식)라는 함수는 2변수함수이지만 f와 g가 각각 x와 t에 대한 함수라고 명시했으므로 f 입장에서는 t가 상수, g 입장에서는 x가 상수임을 활용하기 위한 조건으로서 dt/dx=0을 제시할 수 있다고 생각했습니다.
서로 영향을 주지 않는 독립변수라는 말은 x가 변해도 t는 그대로고 t가 변해도 x는 그대로라는 의미이니, 어떻게 보면 서로가 서로에 대한 상수함수라는 의미잖아요? 그럼 상수함수는 미분하면 도함수가 0이니까 dx/dt=0 조건을 통해 '아 x랑 t가 같이 있어서 2변수함수면 수능 출제 범위가 될 수 없지 않나 싶었지만 dx/dt=0이면 서로에게 상수함수이니, 즉 서로 영향을 주고 받지 않으니 f는 x만 변수로 g는 t만 변수로 취급하면 되겠구나'라는 생각을 하는 것이 출제 의도였습니다 ㅎㅎ
물론 이거 하나 해석 하느라 문제를 못 푸는 것은 지수로그함수 그래프 개형을 통한 닫힌 구간에서의 최대 최소 조사에 방해를 준다 느껴 바로 설명을 덧붙였지만요