왜 수학2에서 극한부터 공부할까?
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우리는 왜 미적분에서 극한부터 배울까요?
결론부터 말하자면 미분가능한지와 (differentiable) 적분가능한지가 (integrable)
모두 극한과 관련되어 있기 때문입니다.
어떤 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하다는 것은 다음을 의미합니다.
극한의 존재성을 보이는 것이죠!
이는 수학2나 미적분을 통해서도 고등학교 교육과정 내에서 친숙하게 볼 수 있습니다.
하지만 '적분가능성'에 대해서는 우리가 잘 언급하지 않습니다.
이유는 우리는 주로 연속함수만을 적분 대상으로 다루고 교과서에서도 그 정도로만 설명하기 때문입니다.
하지만 사실 적분도 가능할 때가 있고 가능하지 않을 때가 있습니다.
닫힌 구간 [a, b]에서 정의된 어떤 함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 적분가능하다는 것은 다음을 의미합니다.
간단히 설명하기 위해 우선 미적분에서 학습하는 구분구적법을 꺼내옵시다!
연속함수 f(x)에 대해 다음이 성립합니다.
이때 x_k와 delta x는 다음을 의미합니다.
의미는 우리가 어떤 닫힌 구간 [a, b]를 n등분하여 각 등분된 구간의 길이를 밑변, 각 구간의 가장 큰 값에서의 함숫값을 높이로 하는 직사각형의 넓이를 모두 합해 n을 양의 무한대로 보내는 극한을 취해주면 그것이 함수 f(x)를 닫힌 구간 [a, b]에서 정적분 한 결과와 같다는 것입니다.
참고로 이때 미적분학의 기본 정리 (FTC, the fundamental theorem of calculus) 에 의해 정적분값은 다음과 같을 것입니다.
자 이제 다시 원래 극한을 살펴봅시다. 만약 극한이 수렴한다면 다음이 성립합니다.
이때 delta x_i는 각 구간을 의미합니다. 다만 우리가 구분구적법에서 학습했던 바와 달리 구간을 굳이 n등분 할 필요는 없습니다.
그래서 극한도 n->inf가 아니라 구간 중 가장 길이가 긴 구간이 0으로 간다는 표현을 쓴 것입니다.
실제로 우리가 공부한 구분구적법에서 n->inf인 상황은 구간의 길이 (b-a)/n이 0으로 가는 상황을 의미합니다.
x_i 별 은 sample point로서 각 구간 delta x_i의 내의 어떤 x값을 의미합니다.
다시 말해 직사각형의 밑변이 delta x_i라면 높이가 f(x_i 별)이 되는 것이죠!
쉽게 말해 미적분에서 학습한 구분구적법에서 구간을 등간격이 아니게 설정하고,
직사각형의 높이에 해당할 부분도 구간의 왼쪽 끝이나 오른쪽 끝이 아니라 그 사이 어딘가의 함숫값으로 챙겨온다는 것이죠.
(이 이상의 구체적인 설명은 각자 유튜브, 위키백과 참고)
따라서 미분가능성은 우리가 다음의 극한으로 판단하고
적분가능성은 다음의 극한으로 판단합니다.
각각이 수렴할 때 우리는 다음과 같이 미분과 적분을 정의합니다.
사실 이렇게 한 다음에 이제 미적분학의 기본 정리에 의해서
미분과 적분이 역연산 관계에 있음을 보여야 매끄러운 흐름이라고 생각하는데
구분구적법 설명하는 것도 머리 아파하는 학생이 대다수이기에
수학2에는 미적분학의 기본 정리로 정적분을 어떻게 계산하는지만 담았나 싶습니다.
뭐 그래서 '왜 수학2에서 극한부터 공부할까?'라는 의문이 들고
해결된다해도 '미분을 정의하기 위해서구나!'에서 끝날 것이지만 말입니다.
사실은 '적분을 정의하기 위해서'도 극한이 필요하기 때문에
우리가 미분과 적분을 공부할 때 극한부터 공부할 필요가 있다는 말을 끝으로
이번 글도 마무리해보도록 하겠습니다.
p.s. 이제 일주일 남은 전공 공부 좀 해야겠네요 ㅋㅋㅋㅋ 현역 분들은 5월 교육청 모의고사 대비 파이팅, n수 분들은 6월 평가원 모의고사 대비 파이팅입니다! 물론 유일하게 중요한 것은 수능이지만요
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아