수1 자작 문제입니다.

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mxkti333 [883166]

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책참 · 1020565 · 22/10/12 11:50 · MS 2020

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책참 · 1020565 · 22/10/12 11:55 · MS 2020

1. 점 An, Bn의 x좌표를 alpha, beta (alpha<beta)라 하자. ㅣalphaㅣ<ㅣbetaㅣ이므로 삼각형 OAnBn의 외접원의 중심은 제1사분면에 있을 것. 그 중심의 좌표를 (a, b)라 하자.

2. (x-a)^2+(y-b)^2=r^2에 (0, 0), (alpha, alpha^2), (beta, beta^2)을 대입하면 a와 b를 alpha, beta, r에 관해 표현할 수 있다. 근데 이거 연립하면 우울증 걸릴 것 같아서 수1에 맞게 cos법칙으로 돌아가보자.

3. 각 AnOBn을 중심으로 cos법칙을 활용하면 (곱셈공식 변형 엄청 많이 들어감) 각 AnOBn의 크기가 pi/2임을 확인할 수 있다. 즉 AnBn이 삼각형 OAnBn의 외접원의 지름임을 알 수 있다.

4. a=(alpha+beta)/2이고 r=sqrt(n^2+1)*(beta-alpha)에서 OPn=sqrt(r^2-a^2)이고 곱셈공식 변형을 활용하면 OPn=n^2+2

5. 1부터 10까지 sigma 씌우면 385+20=405

[생각]
아마도 cos법칙을 통해 각 AnOBn이 직각임을 발견하는 게 문제의 핵심같네요! 이후는 원의 중심 좌표를 alpha와 beta에 관해 나타낼 수 있으니 곱셈공식 변형으로 OPn (원의 중심의 y좌표의 2배)를 n에 대한 식으로 정리해 sigma 씌우는 게 최단 풀이 같습니다. 곱셈공식 변형 쓰다보면 cos법칙 활용할 때 분자가 0이 되어 직각 나오는 게 신기하네요! n에 무관하게 계속 직각이라는 점이 신기했습니다. 개인적으로는 처음에 ㅣalphaㅣ<ㅣbetaㅣ로 중심이 제1사분면에 있을 것으로 그림으로 상황을 파악할 수 있다는 점이 재밌었네요

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mxkti333 · 883166 · 22/10/13 05:13 · MS 2019

정답입니다! 문제 푸느라 수고하셨습니다ㅎㅎ

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mxkti333 · 883166 · 22/10/13 05:15 · MS 2019

OA의 기울기가 alpha이고 OB의 기울기가 beta라 기울기의 곱이 -1이라는 것을 파악하면 더욱 빠르게 풀 수 있습니다~

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책참 · 1020565 · 22/10/13 13:08 · MS 2020

헉... x^=nx+1에서 얻은 alpha*beta=-1을 기울기의 곱이 -1이라는 것으로 바라보아 직각을 찾아내는 건 생각하지 못했었네요. x=/0일 때 곡선 y=x^2 위 점의 x좌표가 곧 원점과 그 점을 이은 직선의 기울기라는 당연하지만 신기한 사실을 발견한 것 같습니다, 감사합니다!

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mxkti333 · 883166 · 22/10/13 18:02 · MS 2019

넵 풀어주셔서 감사합니다~

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