180927(가)를 풀어보자
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두 선분 OA, AF의 길이는 각각 a, 2가 되며, 이때 두 선분 OF, OF'의 길이는 각각 a+2입니다. 여기서 선분 FF'의 길이는 2a+4가 되며, 두 선분 FF', PF'의 길이가 같으므로 선분 PF'의 길이도 2a+4가 됩니다.
그림과 같이 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라고 하면 점 H는 선분 AF의 중점이 되고, 이때 OH=a+1, F'H=2a+3이 성립합니다. 선분 PF'의 길이는 2a+4이므로 피타고라스 정리에 의하여 선분 PH의 길이를 구할 수 있습니다. 선분 PH의 길이의 제곱은 (2a+4)^2-(2a+3)^2=4a+7이고, 삼각형 PHA에 피타고라스 정리를 적용하면 선분 PA의 길이는...
입니다.
포물선의 준선을 그림과 같이 그리면, 점 P에서 포물선의 준선에 수선을 그읍시다. 그럼 해당 선분의 길이는 선분 PA와 같고, 2a+1이 나옵니다. 이때 다음 등식이 성립합니다.
이 방정식을 풀기 위해 양변을 제곱합시다.
타원의 장축의 길이는 두 선분 PF', PF의 길이를 더하면 구할 수 있습니다.
선분 PF의 길이가 2a+1이기 때문에 타원의 장축의 길이는 (2a+4)+(2a+1)=4a+5이고, a의 값을 대입하면...
즉, p^2+q^2=29입니다.
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보자마자 기억이 나네
처음엔 닮음으로 푸는 줄 알았는데 포물선의 성질을 활용해야 했다는... ㅎㅎ