6모 15번 필요충분에 대하여
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옆동네에 쓴 글인데 여기에도 올립니다.
이 문제에 대하여, 다음 풀이가 있습니다.
a22는 어찌 됐든, a1에 [1/(k+1)을 n번 더하고,] [1/k을 (21-n)번 뺀] 수일 것이다.
따라서 a1=0, a22=0이기 위해서는
n/(k+1) - (21-n)/k = 0 ⇔ k=(21-n)/(2n-21)
n이 자연수이므로, 가능한 k는 1, 3, 10이 있다.
―
이때 다음과 같은 질문을 받았습니다.
위 풀이는 'a22=0일 때 가능한 k의 값'을 구한 것인데,
문제에서 요구하는 건 "a22=0이 되는 k의 해집합이 무엇인가?"이다.
즉 "k=□일 때 a22=0이다"의 명제에서, 위 풀이는 필요조건만을 보인 것이지만 문제에서 요구하는 바는 필요충분조건이다.
그렇다면 k=1, 3, 10일 때 실제로 a22=0이 성립하는지(actually holds) 계산해 보아야 하는 것이 아니냐?
중요한 질문이라, 카페에도 공유하면 좋겠다 싶어 오랜만에 글을 올립니다.
심지어 질문자 분께서 말하시길, 많은 해설강의에서 이 부분을 생략하고 넘어간다고 하더군요.
―
일단은 질문자 분께서 생각하신 바가 맞습니다. actually holds 부분을 점검해야 하는 것이 맞습니다.
하지만 계산은 할 필요 없습니다.
우선 증명이 아닌 설명을 해 보겠습니다.
수열 {an}의 점화식에 따르면, 음수이면 더하고, 양수이면 뺍니다.
그러니까, 0을 향하는 경향성이 있다는 말입니다.
또한 이미 첫째항이 a1=0인데, 이는 그 경향성이 매우 안정돼 있다는 말입니다.
만약에 a22=0인 경우의 수가 있다면(n회 더하고, (21-n)회 뺐을 때 0이 되는, 그러한 자연수 n이 존재한다면)
그것이 수열 {an}이 바라는 바이고, 실제로 정확히 n회 더하고 (21-n)회 빼게 될 것입니다.
다음으로 설명이 아닌 증명을 해 보겠습니다.
a1에서 [1/(k+1)을 n번 더하고,] [1/k을 (21-n)번 뺀] 수가 0과 같다고 합시다.
그런데 만일, 실제로 점화식에 따라 a22를 계산해 봤더니 1/(k+1)을 n번이 아닌 수만큼 더했다면?
(1) 1/(k+1)을 n보다 많이 더했다면
a22는 최소 [1/k + 1/(k+1)]일 것입니다.
그렇다면 a21은 어떨까요? a21이 음수일 수는 없겠죠. 더해 봤자 1/(k+1)인데, [1/k + 1/(k+1)]은 너무 큽니다.
따라서 a21은 양수였을 것입니다. a22는 a21에서 1/k을 뺀 수이니, a21이 a22보다 더 크겠죠.
a20은요? a21보다도 더 크겠죠. a1은 a2보다 크고, a3보다 크고, ... 태초에 a1은 아주 큰 양수였던 겁니다.
그런데 조건에 따르면 a1=0이죠. 모순입니다.
(2) 1/(k+1)을 n보다 적게 더했다면
마찬가지로 태초에 a1은 아주 작은 음수였어야 합니다. 모순입니다.
만일 문제가 "a22=1/8이 되도록 하는 모든 자연수 k의 값의 합은?" 따위였거나, 혹은 a1=0이 아니었다면, 충분조건을 쉽게 답할 수 없었을 것입니다.
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그냥 (1/k+1)p -(1/k)q=0 이라고 쓰고 바로 답 구했는데
그저 그렇게 구하고 넘기면 안 된다는 게 요지입니다
유클리드 호제법쓰면 k+1하고 k 는 서로소니까 가능하지 않나요?
네... 그런 식으로든 이런 식으로든 충분조건을 확인해야 한다는 게 요지입니다
사실 서로소 아니게 줬으면 머리좀 깨나 써야했을텐데 아니여서 다행인것 같아요
이문제는 가볍게 틀어서 약수의 개수가 많은 짝수를 건너뛴 항을 물어봤으면 무연근인 케이스가 많이 나오게 되는데.. 21번 뛴걸 물어본건 평가원의 배려인듯
저는 k = 1,3,10 보고 하나라도 없으면 선지에 없어서 그냥 2번 고르고 넘어갔어요
저도 그래서 n과 21-n만 써서 계산한 풀이는 거부감이 듭니다
현장에선 경향성만을 고려해 풀면서도 뭔가 불명확하단 찝찝함을 남겼었는데 저런 증명이 가능했네요 감사합니다 많이 배웠어요
와 이거 진짜 의문이었는데
진짜 필요했던 내용이었는데 감사합니다