나라면 수능 전 꼭 복습할 기출 총정리(feat. 소재별 접근법)

클릭해주셔서 감사합니다. 

제가 수험생일 때 지금 시기 뭘 했나 생각해보면 새로운 문제 푸는 것보다 체크해둔 문제들 틀린 이유나 떠올리지 못한 접근법을 다시 한 번 정리 했었고 이게 되게 좋았습니다. 

나라면 이런 문제를 복습하지 않을까라는 생각으로 최근 기출들을 소재별/주제별로 묶고, 접근 방법을 정리해보았어요. (어제까지 올린 글 모아둔 것입니다. 제목 클릭시 지난 글로 이동합니다.)

혹시 내용들이 너무 새로운게 많으시다면 지금 시기에는 오히려 혼란스러우실 수 있으니 비추천이구요. 어느 정도 공부가 되어 있을 때 효과가 좋을 것 같아요. 

1. 귀납적으로 정의된 수열

대입, 관찰, 나열이 기본이구요. 

- 주기성 나오는 지 보시고

- 사칙연산을 결과를 쓰지말고 그대로 표시하는게 유리할 때가 있구요 예) 1+2+3 그대로 쓰기 (O), 6 (X)

- 경우가 나누어질 때는 수형도로 가지치기 하면 강력한 도구로 사용 되는 경우 많습니다. 

- a1이 아니라 뒤쪽 항 주었을 때 뒤에서부터 역추적하는게 유리한 경우 있구요

- 역추적할 때는 an으로 표현된 an+1를 반대로 an+1로 an을 표현하는게 편해요. 범위 조심해야하구요. 예) an+1=an+1 (X), an=an+1 -1

- 문제 상황에 따라 추적 시작점을 잘 잡으셔야 합니다. 

- 올해 9월 문제에서는 그래프로도 풀 수 있음을 챙기시고, 

- 문제에서 합을 물으면 합에 주목해서, 차를 물으면 차에 주목해서 봐보는 것도 센스입니다. 

- 정수, 자연수 조건 나오면 약수 조건이 자주 쓰이니 대수적으로 접근해봐야겠구요. 

2. 지수로그 ㄱㄴㄷ

1. 기본적으로

① 그래프는 크게, 비율 맞게 그리고, 주요점(절편, 그래프 위 x, y좌표 정수인 점) 표시합니다. 

② 교점이 나오면 대입해서 식 세워둡니다. 주로 ㄴ, ㄷ에서 식변형할 때 자주 사용됩니다. 

③ x₁＞a를 따질 때는 일단 맞다는 가정으로 그래프에 표시해보고, f(a), g(a)의 대소를 비교해봅니다. 

④ 보기에 x₁＞a 이 보이면 그래프에 x=a 를 표시해둡니다. 

2. 자주 사용되는 내용으로

① (y₂-y₁)÷(x₂-x₁) → y변화량과 x변화량의 비율, 즉 나눠져 있으면 두 점 사이 기울기로 해석 가능합니다. 

② (y₂-y₁)×(x₂-x₁) → y변화량과 x변화량의 곱이면 직사각형 넓이로 해석 가능합니다.

③ 위로/아래로 볼록한 함수의 그래프에서 기울기(평균변화율)이 오르쪽으로 갈수록 작아짐/커짐을 이용합니다. 

3. 가끔 사용되는 내용으로

① a＜b를 보이기 어려울 때 그 사이에 a＜x＜b인 x를 잡는 것이 요령입니다.

② 그때, 지수나 로그의 대소비교라면 밑이 같아야 유리함에 초점을 맞춥니다. 

③ 종종 역함수 그래프의 성질, 대칭성, 평행이동이 사용됩니다. 

④ (y₂+y₁)×(x₂-x₁) → y끼리는 더하고 x끼리는 뺀 것을 곱할 때 사다리꼴 넓이로 해석 가능합니다. 

⑤ 로그에 등비 넣으면 등차가 되는 걸 그래프에서도 볼 수 있습니다. 

3. 고난도 등차수열

1. 기본적으로 수식적인 접근을 할 수 있습니다. 

① 일반항에 대입할 수 있고 

② 부분합 공식에 대입할 수 있습니다. 

③ 부분합은 상수항이 0이고 최고차항의 계수가 공차의 절반인 이차식입니다. 

④ 반대로 부분합이 이차식이라면 일반항은 등차수열이 됩니다. 부분합의 상수항이 0이냐 아니냐에 따라 일반항이 첫째항부터 등차일 수 있고 둘째항부터 등차일 수 있습니다.  

2. 수식적인 접근보다 나열하고 관찰하는 풀이를 좀 더 연습해두시기 바랍니다. 

① 등차수열의 합은 대칭성이 있어서 a1+an=a2+a_(n-1)=a3+a_(n-2) 이 됩니다. 

② 등차수열의 합은 (첫항+마지막 항)×(항의 개수)÷2로 구할 수 있습니다. (공식보다 자주 사용) 

③ 항의 넘버링의 차이를 보고 d를 몇배하여 더하거나 빼줍니다. (일반항에 대입하는 것 보다 자주 사용) 

3. 중요한 성질로는 

① 자연수, 정수 조건이 보이면 무조건 예민하게 반응합니다. 약수 조건을 활용할 수 있습니다. 

② 등차수열은 부호가 일정하거나 "단 한 번" 바뀌는데 바뀌는 지점을 파악하는게 핵심일 때가 많습니다. 이를 문제에서 다양한 모습(절댓값, 부분합의 대소비교)으로 숨겨서 주므로 잘 파악해야합니다.

4. 절댓값 함수의 미분가능성

(x, y축 기준으로)접으면 기울기 부호가 반대가 됩니다. 

따라서 가장 중요한 아이디어는 접히는 경계에서는 미분계수가 0이었어야 미분이 가능하다는 것입니다. 다항함수라면 중근으로 이어지겠죠. 

이번 10월 모의고사에서도 되게 복잡해보이지만 결국 x=0, 2 경계에서 미분계수가 0임을 파악하면 간단히 해결할 수 있습니다.  

5. 정적분의 넓이 관점

정적분도 그렇고 대부분 문제를 풀 때 ① 대수적으로(수식, 방부등식) 푸는 방법 ② 기하적으로(도형, 그래프, 그림) 접근하는 방법이 있겠죠. 둘을 잘 왔다갔다 하실 수 있어야 합니다. 

정적분에서는 

"대칭성이 있는 함수가 나왔을 때나 정적분 관련해서 부등식이 나왔을 때 넓이 관점으로 접근하는게 유용한 경우가 많습니다."

사다리꼴과 정적분 넓이 비교를 통해 위/아래 볼록성을 파악할 수 있어야 하고,

구간 내에서 함수끼리 대소관계 있을 때 정적분 부등식 세울 줄 알아야합니다. 여기서 파생되는 몇가지 내용 정리해보았구요. 

(a, b) 점대칭이나 x=a 선대칭인 함수가 만족하는 등식을 아셔야 하고, 이런 함수들의 정적분 했을 때 나타나는 성질을 확인해두세요. 

6. 곱함수의 연속성과 미분가능성

x=a에서 

① f(x)가 불연속, g(x)가 연속인데 f(x)g(x)가 연속이면 g(a)=0입니다. 

② f(x)가 불연속(이지만 좌/우극한/함숫값 각각 존재)이면 (x-a)f(x)는 연속, (x-a)²f(x)는 미분가능입니다.(주의 : 극한값이 존재할 때는 (x-a)f(x) 미분가능입니다.) 

③ f(x)가 불연속(좌/우극한 중 적어도 하나가 존재하지 않을 때)이면 부정형 가능하니 직접 정의대로 연속성, 미분가능성을 확인하세요. 

이번 수능용 칼럼은 이 글이 마지막일 것 같아요.

올 한해 꾸준히 자료 봐주시고 댓글 남겨 주신 분들 덕분에 뿌듯하였습니다. 

자료 도움되실 것 같으면 좋아요, 댓글 남겨주시면 큰 힘이 됩니다. 

꼭 좋은 결과 있으시길 바라고, 혹시나 추후에 "덕분에 좋은 결과 있었다." 뭐 이런 댓글이나 쪽지 주신다면 더 바랄 것 없이 기쁠 것 같아요. 

작년에 올린 글들 중 볼만한 글과 그동안 올린 글 중에 도움될 만한 글 남겨둘게요. 

[작년 볼만한 글]

자주 사용되는 9가지 테크닉 기출문제로 배워보기

삼각함수+도형+극한 유형 끝내기!!!

정규분포 유형 끝내기!!!

[지난 글]

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