[박재우T] 다르부 정리와 도함수의 연속성
게시글 주소: https://iu.orbi.kr/00039765358
안녕하세요 박재우 T입니다.
라스트 스퍼트 강의 시작했습니다.
저를 아는 학생들 모두 라스 선택하면 후회없을 거라 확신합니다.
열심히 달려봅시다.
이제 본론으로 들어가서
이전에 한 번 언급했던 적이 있었습니다.
도함수가 연속인지 아닌지 모르는데 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있느냐는 문제입니다.
결론부터 얘기하자면 쓸 수 있다 입니다.
물론 이와 같은 주제와 연관된 과거 기출문제는 수업시간에 다루면 안되겠죠 ?
당위성을 위해서 설명해야 하는 것이 대학과정 개념이라면 출제해서는 안됩니다.
그냥 쓸 수 있다라고 단정하고 지나가는 것도 물론 안되구요.
그래서 저는 강의에서 롤의 정리에 대해 많이 강조합니다.
암튼
도함수가 불연속일 수 있음에도 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있다는 것을
가능하게 해주는 것이 바로 다르부 정리입니다.
한 번 알아보도록 하죠.
우선 함수 중에서 미분가능하지만 도함수는 불연속인 함수로 거론되는
대표적인 함수가
입니다. 이 함수는 x=0에서 미분가능하지만 도함수는 x=0에서 자명하게 불연속입니다.
이 함수의 경우처럼 도함수가 불연속인 함수는 사잇값 정리를 도함수에서 제약없이 막 쓸 수가 없겠죠
이제 다르부 (Darboux) 정리에 대해 알아봅시다.
<Darboux 정리>
함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 구간 양 끝점인 a와 b에서의 미분계수가 다르면
f'(a)와 f'(b) 사이의 임의의 값 k에 대해서 f'(c)=k 를 만족시키는 점 c가 개구간 (a, b)에서 존재한다.
아래 부분은 스킵해도 됩니다. 관심있는 분들만 보셔도 됩니다.
이제 증명 한 번 해보면
인 경우를 생각해봅시다.
폐구간 [a, b]에서 정의된 함수
라 정의하면 명백히 g는 폐구간 [a, b]에서 연속이면서 미분가능합니다.
그러므로 연속성의 정리에 따라 g는 [a, b] 위에서 최솟값 g(c)를 갖습니다.
즉, [a, b] 에서의 모든 x에 대하여
를 만족시키는 c가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.
그런데.
이 되므로 함수 g(x)는 x=a에서 감소상태에 있습니다. 그러므로
를 만족하는 점 d가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다. 이제 마찬가지로
이 되므로 함수 g(x)는 x=b에서 증가상태에 있습니다. 그러므로
를 만족하는 점 e가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.
따라서, 점 c는 개구간 (a, b)에서의 원소이고 구간에서 g(c)는 최솟값이므로
구간 내에서 극대, 극소를 갖고 미분가능하면 자명하게
즉,
입니다. 같은 방법으로
도 증명해볼 수 있습니다.
이러한 이유로 정의한 구간 내에서 f의 도함수가 연속함수가 아닐 지라도 연속함수의 경우와 마찬가지로
f의 도함수에 대한 사잇값 정리가 성립함을 알 수 있습니다.
머가 먼지도 모르겠고 그냥 그렇다고 하니깐 쓰자라는 것 보다는
아예 애시당초 이런 문제는 안 내는 것이 상책이라 생각합니다.
그래서 롤의 정리가 수능에서는 더욱 더 깊이 있게 다가오는 것이 아닐 까 생각합니다.
물론 요즘은 잘 안나오는 주제이긴 하지만서두요.
아래 기출 문제를 한 번 봅시다.
다들 아시겠지만 여기 ㄷ지문은 롤의 정리가 더 좋지 않을까요 ?
두서없는 글 죄송합니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
올만에 번호따임 3
개웃기네 인생업적하나 등극 "식당사장님한테 번호따이기" 아.
-
오르비는 칼럼만 모아서 검색 가능한 기능을 좀 만들어야됨...
-
가면 갈수록 23시즌 배기범 블랙 같아지네 문제 호흡이 점점 길어짐
-
어떤식으로 해야 효율적일까요??저 많은 선지들을 다 외우듯이해줘야하나요??아님...
-
출장 다녀오시느라 고생 많으셨습니다 여기까지 오시는데 고생 많으셨습니다 요런 뭔가...
-
( 바라카원전 수주액 1.5배, 30조 체코 원전 입찰 결과, 오늘 발표 ) 0
수주 후 폴란드+네덜란드+루마니아 까지 모두 수주 기대....
-
문제퀄 괜찬나여 28문항을 40회분이라니... 미친 분량인데 이거 맞나
-
드디어 월간지가 출시되었습니다!! 이번 월간지에는 낙성비룡, 오유란전, 고장 난...
-
요즘 들어 많이 탈릅하는 것 같아요 그러다 보니 내년에도 여러분을 옯에서 만날 수...
-
배고프지만 저녁을 굶도록 하겠다. 이래 불규칙적으로 살다가 조만간 세상이랑 빠빠이하려나...
-
어려운거 맞죠? 해설을 읽어도 뭔 말인지 모르겠는 문제가 꽤 되네요. 6번 문제는...
-
설마 옯 하나?
-
안녕하세요. 이전부터 계속하여 논술에서 독해력을 강조했던 킹콩병장(필명) 입니다....
-
내 실력으로 갈 생각조차 못할 대학 뜨니까 기분좋네….
-
텔그 지금사면 0
수능때까지 돈 안내도되는거임? 한번 할때마다 돈냄?
-
뉴분감 이제 막 끝낸 상태이고 수분감 스텝1은 2회독 했습니다. 7모 백분위는...
-
요번에 수학 뽀록 1 ㅈㄴ 많은 듯 내 주변만 봐도 엄.. 요기까지
-
계속 2 뜨다가 수능날 3,4 뜨는 케이스 많나요? 9모 끝나고 공부 놓거나 그런...
-
나는 누구인가... 여긴 어딘가... 난 뭘 말하는거지? 나 잘하는거임? -...
-
문제가 겹치는 것도 있네...
-
집모로 7모 봤는데 88 15 22 30틀인데 미적 30 계산량 나만 많나,,,,
-
저도 휴식좀 7
10분만
-
첫 정답자 1000덕 드리겠습니다!
-
지1 보통물질, 암흑물질, 에너지 구분하는 문제에서 0
암흑물질, 보통물질, 암흑 에너지 구분하는 문제에서 시점에 관계없이 서로의 비율이...
-
오늘의 음료 23
-
국어 잘하고 싶다.. 정법아 날 배신하지 말아줘 문돌이 맞나 더프에서 4이상을 맞아본적이 없네..
-
단기 화학 과외선생님을 구합니다. - https://orbi.kr/00068757591
-
너무못알아듣길래답답해서..ㅠ 그러게누가고3모고갖고와서풀래!!!
-
종강날까지 반수 생각 없다가 종강 이후에 수능판 들어온 케이스인데 동아리 갑자기...
-
애니프사 혐오를 멈춰주세요
-
태풍에서의 풍향 변화를 배울 때는 아래 그림처럼 저기압 중심을 향해 바람이 들어가는...
-
고2 수학 0
정시파이터고 방학에 고3기출 돌리려는데 자이스토리가 좋을까요 아님 마플 기출이 좋을까요??
-
독서는 한두개 틀리는데 문학은 25-30분 걸려서 다 풀어도 10개씩 틀려요 ;;;
-
메디컬 종합전형에서 괜찮나요 동아리랑 진로는 그래도 잘 써준거같은데 자율에는...
-
그냥 게시물로만 봤던 분들이 댓글을 달아주시니 신기하네요 16
뭔가 유명인 만나는 느낌..
-
[오픈 캠퍼스 투어 안내] 안녕하세요 함께 꿈을 이루어나가는 서울시립대학교 홍보대사...
-
카톡 오픈채팅으로 인증하실 분 구합니다 서로 끝까지 지켜봐요
-
학원을 꼭 다녀야한다면 이유도 함께..ㅎㅎ
-
현재 점수대는 70후반~80초반 정도 나오고 있으며, 공통은 2~3문제 제외하고 잘...
-
산에있어서 공기가 맑아서 그런거같음 ㄹㅇ 별거아닌이유라고 생각할지모르겠는데 서울대...
-
어느새부터 일반피자는 치즈가 거의 없어졌어..
-
준킬러 기조에 강화되어있는 테마별 방법론을 아시는분께 단기적으로 과외받고싶습니다....
-
실전강의로 공식, 실전개념, 발문해석 6월초~7월초초 수완으로 계산 매꾸기 끝나감...
-
수능 응시생들이 재능 없으면 뭣도 안된다는 현실 깨닫고도 미련하게 수능판 남아있는게...
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.