풀어봐요 물리의 숲 (물리학과가 심심해서 남김)

문제 상황입니다.

경로 A는 가파른 경사에서 L1만큼 이동한 후, 완만한 경사에서 L2만큼 이동합니다.

경로 B는 완만한 경사에서 L2만큼 이동한 후, 가파른 경사에서 L1만큼 이동합니다.

점 Q에서 두 경로에 각각 쇠공을 가만히 놓은 후, 점 C에 도착하는 것을 관찰합니다.

(마찰이 없는 경우를 가정합시다.)

(i) 어느 공이 먼저 점 C에 도달하나요? 쉬운 문제입니다. (기출에 있는 아이디어입니다.)

(ii) 훨씬 중요한 문제입니다. (i)을 정확히 증명해봅시다.

(iii) 만약 증명했다고 생각한다면, L2가 L1보다 훨씬 큰 경우와, L1이 L2보다 훨씬 큰 경우에 대해서 생각해봅시다. 결과는 변하나요?

해설

문제 풀이보다, 증명이 훨씬 중요한 문제입니다. 

우선 기본적인 정보들을 나열해보면:

1. 가파른 경사에서 두 공은 각각 같은 가속도를 가진다.

2. 완만한 경사에서도 두 공은 각각 같은 가속도를 가진다. 물론, 같은 경사를 가진 경로를 이동할 때, 같은 시간이 걸린다고 할 수 없다.

3. 점 C를 지날 때, 두 공의 속력은 같다. (속도는 다르다, 방향이 다르니!) 역학적 에너지는 보존되어야 하기 때문이다. 

이를 통해 v-t 그래프를 그려봅시다. 

아래 까만 그래프는, 경로 B에 대해서 그린 것입니다. 또한 위의 빨간 선과 파란 선은, 경로 A에 대한 그래프입니다. 

빨간 선을 보시면, 우측의 같은 기울기를 가진 까만 선보다 길이가 깁니다. 두 선 아래의 면적이 L2로 같아야 하기 때문입니다. 

파란 선 역시 하단의 같은 기울기의 까만 선보다 길이가 짧아야 합니다.

언뜻 보면 여기서 증명이 끝난 것 같습니다. 

같은 속도에 도달하게 될 때, 경로 B에서 먼저 그것이 일어날 것으로 보입니다.

하지만 그래프를 더 자세히 보면, 딜레마가 생깁니다.

먼저, T1이 t2보다 커야 함은 알겠습니다. 그런데, T1이 t1보다 작아야 하나요? 더 크게 된다면, 그래프 상의 점 a와 b가 서로를 지나게 되지 않을까요? 결과가 바뀌는 것인가요?

또, 지금 빨간 선의 세로 길이 역시 너무 길지 않나요? 점 b에서 쇠구슬의 경로 B에서의 운동이 끝나게 된다면, 경로 A에서의 쇠구슬의 경로 A는 빨간 선 위에서 끝나게 될텐데...(같은 속력으로 끝나므로)

이런 고려해야 할 상황이 많기 때문에 증명하기가 조금 까다롭습니다.

이를 위해, 평행사변형에 대해 조금 더 얘기하고 갑시다.

선분 x와 y의 길이가 같고, 평행합니다. 

선분 z와 w의 길이가 같고, 평행합니다. 

선분 x와 z가 평행하지 않을 때, 이 네 선분을 가지고 평행사변형을 만들 수 있습니다.

평행사변형에서는 항상 x=y, z=w임을 기억하고,

이제 v-t 그래프 위에 평행사변형을 그립시다.

평행사변형을 그린 후, 

우측 위의 가파른 경사의 까만 선 위에 빨간 점을 찍어보면서 

경로 B의 운동이 어디서 끝날지 특정해봅시다.

T1이 t2보다 커야 하므로, h2아래에 존재할 것입니다. 

또한 경로 A에서 쇠구슬이 완만한 경사에서 운동하는 구간이 반드시 존재하므로, h1보다는 위에 존재할 것입니다.

빨간 점을 찍었다면, 그 지점의 y좌표가 운동이 끝났을 때의 속력입니다. 노란 수평선을 그리고, 최상단의 까만 선과 교점을 찾으면, 결국 경로 B에서의 운동이 먼저 끝남을 보일 수 있습니다.

L1이 너무 긴 경우, v-t 그래프는 다르게 그려질 것입니다.

이를 v-t그래프에 적용할 경우,  T1이 t1보다 크게 됩니다.

(당연히, T1은 t2보다도 큽니다.)

같은 결론이 나옵니다.

너무 재미있지 않나요?