미분을 하는 이유

안녕하세요. 

수학강사 이승효입니다.

오늘의 주제는,,  "미분을 뭐하러 해?"

먼저 아래 문제를 봐주세요. 이번 9월 모평 가형 18번입니다. 

나형 학생도 풀수 있는 문제입니다.

나형이라면 '호옹~ 우리가 풀수 있는 문제도 가형에 나오다니,,'

가형은 '어라, 문제가 좀 다른데?'  라는 생각이 들지요?

네, 가형은 아시겠지만

문제에 출제된 f(x)는 저런 형태였지요? 

(나형 학생들도 좌절하지 말고 끝까지 읽어보면 도움이 될거에요. ^^)

그런데 처음 함수처럼 f(x)가 쉬운 형태(다항함수)로 나오더라도, 

이 문제의 해결전략이나 풀이방법은 전혀 달라지지 않습니다.

여기서 우리가 알아야 할 것은 

평가원에서 함수추론 문제를 만드는 방식

이에요.

평가원에서는 종종 복잡한 (또는 복잡해 보이는) 함수의 식을 던져주곤 합니다.

수학 고정 1등급의 고인물수라면 

'나에게 어떤 함수를 던져주더라도 전부 미분해 버리겠어 

(심지어 두번미분)'

라는 마인드로 함수를 탈탈 털어버린 다음에 

그걸 이용해서 문제를 풀어도 시간이 모자라지 않겠죠. 

그렇지만 평가원 문제 중에서 

오로지 식으로만 풀어야 하는 일부를 제외한 대부분의 함수 문제는 

복잡한 함수를 

"같은 성질을 가진 매우 쉬운 함수"로 치환하더라도

같은 방식으로 풀리도록 문제가 성립합니다. 

왜 이런 현상이 벌어질까요?

문제를 제작한 경험이 있는 분들은 잘 알고 계실겁니다.

문제를 만들때, 밑도 끝도 없이 복잡한 함수 식부터 세우고 

문제를 만드는 것이 아니라

1. 특정한 교과서 개념을 확인할 수 있는 상황을 설정하고

2. 그 상황에 적합한 함수 식을 만든 다음

3. 만약 문제의 난이도를 올리고 싶으면 

   같은 성질을 갖는 좀 더 복잡한 함수로 업그레이드 한다.

이런 식으로 문제를 만드는 것이 일반적이기 때문이에요.

즉, 이렇게 복잡해 보이는 함수 문제에서 중요한 것은

1. 함수의 중요한 성질을 빨리 캐치한다.

2. 쉬운 함수로 바꿔서 그래프의 개형을 추론한다.

3. 개형을 이용하여 문제를 아주 쉽게 푼다.

인 것입니다.

이러한 원리는 이번 18번에만 활용되는 것이 아니라

평가원 기출에서 폭넓게 활용되고 있답니다.

기출분석이 끝나고 암기까지 된 학생이라면

이번 f(x)안에 있는 로그함수와 이를 이용한 g(x)의 정의가 

2018학년도 6평 30번의 재활용이라는 걸 바로 캐치해냈을거에요.

주어진 함수의 중요한 성질(대칭성, 아래로 볼록)만 파악해서

f(x)를 2차함수로 바꿔 버리면 쉬운 수학2 문제로 바꿀 수 있죠.

다시 원래의 질문으로 돌아가서 글을 마치려 합니다.

미분을 뭐하러 해?

미분은 함수의 성질을 모르니까 한다.

예를 들어, 3차함수의 식만 보면 이 함수가 극점을 갖는지 안갖는지

어디서 증가하고 감소하는지 알수가 없죠.

즉, 숨은 성질을 찾는 함수의 해석도구가 미분인 것입니다.

이번 18번 문제에서 주어진 함수는

1. 원점을 지나고 양수구간에서 증가하는 함수이다.

2. 구간 (0,1)에서 함수는 1보다 작다

   -> 10제곱하면 미친듯이 더 작아진다.

라는 두 가지 성질을 

미분이라는 도구 없이도 충분히 찾아 낼수 있습니다.

미분의 꿀팁 중 하나는, 신기하게도, 

미분을 쓰지 않는 것이에요. (!)