고1수학 상 복소수 부분 질문입니다.
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먼저 첫번째 질문입니다.(√ 기호는 루트에요^^;;)
a>0, b>0 일때 √a×√b = √ab 입니다.
허수 i에 대해서 i²=-1이고 i=√-1 이죠
그런데 √-a=√ai 잖아요 그럼 √a×√-1=√-a 라는건데 이럴 경우 a>0, -1<0 인데 √a×√b = √ab가 성립한다고 할 수 있나요?
그런데 또 다르게 생각해보면 (√a)²×(√-1)²=a×-1= -a =(√-a)² 라서 성립되는거 같기도 하고..
두번째 질문
a>0이고 b<0일때 √a/√b = - √a/√b 라고 제가 보는 기본서에 나와있거든요 이거 증명 방법을 잘 모르겠네요 ㅠㅠ
혼자 공부하니까 이런거 물어볼 사람이 없어서 답답하빈다 ㅠㅠ
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a,b 둘 다 음수일 때에는 √a √b = - √ab 이고, 그 외의 경우에는 √a √b = √ab 에요.
또, 분수 형태 근호에 대해서는 말씀하신대로 a>0, b<0 일 때 √a/√b = - √(a/b) 이고, 그 외의 경우 √a/√b = √(a/b) 입니다.
a>0 , b<0 인 경우 증명은, √a/√b = √a/(i√-b) = - i √(a/(-b)) = -i √(-a/b) = - √(a/b)
그런데 아직 이해가 잘 안됩니다 ㅠㅠ a<0, b<0일 때 √a×√b가 √-ai×√-bi = √abi²= -√ab 인건 알고 있습니다.
근데 √a×√b를 √-ai×√-bi로 왜 먼저 고쳐야 하는지 명확한 증명법은 없나요? 복소수의 대소 비교를 할 때 처럼
가정을 잡아놓고 결론이 모순이다 하는 그런거요..
두 번째로 √a×√-1 = √-a 를 증명할때
a와 b의 부호가 다를때도 √a×√b=√ab 라고 하셨는데 이것도 자세한 증명이 궁금합니다.
또 a>0, b<0일때 √a / √b의 증명에서 √a / √b = √a(i√-b)까지는 이해가 가는데 그 후에 √a(i√-b) = -i √(a/(-b)) = -i √(-a/b) = - √(a/b) 가 어떻게
되는지 잘 이해가 안됩니다 ㅠㅠ
그리고 혹시 답변달기 힘드시다면 이런 증명같은거 잘 나와있는 책 추천 해 주실수 있나요?
교양 서적도 상관 없습니다. 이런 사소하지만 궁금한거 알아가는게 재미있어서 ..
원칙은 하나에요. 근호 안이 양수면 그대로 두고, 근호 안이 음수면 i를 근호 밖으로 빼내면서 근호 안을 양수로 바꿔주고..
a,b 둘다 음수일때 √a×√b를 √-ai×√-bi 로 고치고 시작하는 게 그런 이유에서이지요. -a 랑 -b는 양수가 될테니까요.
그리고, √a×√-1 = √-a 는 예를 들어, a=3 이면, √3×√-1 = √-3 이 되는 게 왜 그렇냐 하시는 거죠?
√3 은 x^2 = 3 의 근 중 양수인 근. 그 근을 그냥 x라고 놓을게요.
√-1 은 y^2 = -1의 근 중 허수부가 양수인 근. 그 근을 y라 하고..
√-3 은 z^2 = -3의 근 중 허수부가 양수인 근. 그 근을 z라 합시다.
위 두 식 곱하면, (xy)^2 = -3 이니까 (xy)^2 = z^2 --> z=xy or z= -xy 이지요. 근데 xy의 허수부는 양수임은 명백하고 z의 허수부도 양수이니까, 이 중에서 z=xy가 참이지요. 따라서 √3×√-1 = √-3 이어야 하지요. 당연하게 생각하고 넘어가면 당연한건데 끝까지 파고 넘어가시는 자세가 참 좋으시네요^^
끝으로 √a / √b = √a(i√-b) 라고 쓰셨는데, 제가 쓴 거 다시 한 번 보세요~ 우변에 나누기가 있어요.
설마 제가 수험생의 시간을 뺏은것은 아니길 바랄께요^^;;