이해원모의고사 1회 29번 풀이 과정에 대한 질문입니다.
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해설지를 보니 이면각의 정의를 이용한 풀이를 하던데요.
면 QPA 와 면 QOA가 이루는 이면각을 a, 면 QOA와 면 QAB가 이루는 이면각을 b라고 나누어
생각한 다음, cos(a+b)를 이용해서 풀었는데 논리적 오류가 없을까요?
먼저 각 a는 선분PA가 선분 OA, QA와 모두 수직이라 애초에 정사영이 생기지 않으므로
그림자의 면적이 0이라 cosa=0이라고 계산했구요.
각 b는 선분 QA와 선분 OA(연장선) 위에 점 B에서 수선의 발을 내린 다음 양쪽 직각을 만들어
삼수선의 정리를 이용해 cosb= (root6) / 3 으로 구했습니다.
이후에 cos 덧셈정리를 이용해 구해도 cos(a+b)는 - (root3)/3 으로 나오네요.
제곱하면 1/3이구요.
해설지의 풀이도 중간과정까진 생각했는데 삼각형 QAB가 직각이라는 사실을 빨리 못찾아서
결국 이렇게 풀었네요. 혹시 어쩌다 얻어걸려서 답만 같은건지 불안해서요. 확인 좀 ^^;;;
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세평면 QPA, QBA, QOA 모두 QA 를 하나의 교선으로 가지고 있기때문에 위의 방법대로 풀어도 전혀 논리적 모순 없습니다.
QA에 수직이 되는 평면으로 잘라 단면화 해보시면 결국 님이 말한 삼각함수의 덧셈정리를 이용한 풀이로 귀결 되는것을 알 수 있습니다.
다만 각 b를 구하는 방법에 대해서는 좀 의문이네요..
모든 변의 길이를 구해보면 QBA는 정삼각형이고 , 따라서 B에서 교선 QA 상에 내린 수선의 발은 선분 QA 의 중점에 찍히게 됩니다.
다시 한번 확인해 주셨으면 합니다 .
해설지처럼 QA의 중점을 M이라고 했을때. 그것이 점 B에서 내린 수선의 발인것은 맞습니다.
그리고 점 B에서 평면 QOA에 내린 수선의 발은 점 O가 아닙니다.(각BOA가 120도이기 때문에)
따라서 선분OA의 연장선 위에 점 B에서 먼저 수선의 발을 내리고, 그 점을 C라 하면 선분 BC의 길이는 root6 입니다. (직각삼각형 ACB이고, 각 CAB가 30도이므로)
그럼 BM의 길이가 3이고 BC의 길이가 root6이므로 cosb(이면각의 정의로 만들어진)=root6 / 3 입니다.
저도 그렇게 푼듯하네요. 공간좌표넣어서 햇더니..