이과 수학덕후들만 보세요. [합성함수의 미분법]의 증명에 대한 보충설명
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많은 수학덕후들이 고등학교에서 미적분학을 처음 배울 때
합성함수의 미분법을 다루면서 "고교과정에선 완전한 증명을 하기가 어렵다"는 말을 들었을테고
증명의 어느 부분이 문제인지, 그럼 온전한 증명은 어떻게 해야하는지 궁금해했으리라 생각됩니다.
저 역시도 그러했고, 대학에서 수학을 전공했음에도 불구하고
이 부분에 대해서 속시원한 답을 얻는데는 생각보다 오랜시간이 걸렸는데요.
막상 답을 알고 나니 생각보다 어렵지 않더라고요. ㅎㅎ
며칠 전에 이 부분을 질문받고, 이에 대해서 간단히 글을 썼는데요.
되도록 많은 학생들이 도움 받았으면 하는 생각에 그 답변 중 일부를 게시판에도 올리겠습니다.
대학에서 수학을 전공하고 있거나
수학과 진학을 희망하는 수험생이 있다면
제 블로그(sodong212.blog.me)에 올려놓은 글 전체를 다 보는 것도 좋을 거 같네요.
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합성함수의 미분법이 고교과정에선 완전하게 증명이 안 됐나요?
질문에 답해드리자면 Partialy Yes, Partialy No. 입니다. 수능에선 별 상관없는 미묘한 문제가 하나 걸려있는데요. 이번 글에서 바로 그 부분을 설명하고 있습니다. ^^
이번 글에선 더 이상 자세히 쓰진 않겠습니다.
이 부분이 궁금했는뎅 ㅠㅠ
고등학교 과정에서 다루는 함수들만 생각해보면, 고등학교 교과서에서 소개하는 수준의 증명으로도 충분하다는 것이 이번 글의 주제입니다. 그 근거들을 정확히 이해할 수 있다면 수리가형을 풀이하는데 필요한 실력을 쌓는데 도움이 많이 되거든요. ㅎ
제가 이 글에서 미분계수의 또 다른 정의와 이것을 이용한 연쇄법칙의 증명을 다루지 않은 이유는 (마치 극한의 입실론-델타 논법처럼) 수능이란 시험에선 별 도움이 안 되기 때문입니다. 이 부분은 학문적 즐거움을 위한 요소이지 수능을 위한 요소는 아니란 거죠.ㅎㅎ 정말 수학을 좋아하고 직업으로 수학자가 되고 싶어하는 일부 학생들을 위해서 입구가 여기에 있다는 정도만 언급한 것이라 이해해주세요.
정말 너무 궁금해서 견딜 수 없는 학생이 있다면 저에게 쪽지 주세요. 그럼 어떤 책의 어느 부분을 봐야 하는지 안내해드리겠습니다.
y=f(u), u=g(x) 가 미분가능하면,
u=g(x)가 미분 가능하므로
lim(Δx->0) Δu/Δx = g'(x) 이다. 따라서 e1= Δu/Δx - g'(x) 라 하면
Δu = (g'(x)+e1)Δx 이고 lim(Δx->0) e1 = 0 이다.
또 Δx->0 이면 Δu->0 임을 알 수 있다.
같은 방법으로 y= f(u) 가 미분 가능하므로
Δy = (f'(g(a)) +e2)Δu 이고 lim(Δu->0) e2 =0 이다.
그런데 Δy= (f'(g(x)) +e2)(g'(x)+ e1)Δx 이므로
dy/dx = lim(Δx->0) Δx/Δy = lim(Δx->0)(f'(g(x)) +e2)(g'(x)+e1)
= lim(Δx->0)(f'(g(x)) +e2) lim(Δx->0) (g'(x) +e1) 이다.
Δx->0 일 때 Δu ->0 이므로
dy/dx = f'(g(x))g'(x) 이다
알기 쉬운 해석학(장건수 외5인) 에 나와있는 증명입니다
옙. 이런 방식으로 증명해요. 감사합니다. 제 수고를 덜어주셔서. ^^
사실 제가 생각하는 가장 깔끔하면서도 일반적인 증명법은, 미분계수를 정의하는 성질인 'best linear approximation property' (라고 거창하게 부르기도 뭣하지만 어쨋든 그런 성질)을 이용하는 증명입니다.
이게 중요한 이유는
(1) 미분계수의 기하학적인 의미를 아주 명확하게 보여주며
(2) 이 성질이 사실상 미분가능성과 동치이고
(3) 이 성질은 더 넓은 범위로도 확장하여 사용 가능하기 때문입니다. 예를 들면 선형사상이나 functional같은 함수들도 미분 가능하지요.
오!! sos440님이 코멘트 해주시다니 영광입니다.^^
(블로그 재미있게 보고 있어요. 제 실력이 부족해서 이해 못하는 부분이 많지만요. ㅠㅠ)
한가지 간단한 질문이 있는데요. best linear approximation이란 게 정확히 무엇을 가리키는지요?
제가 알고 있는 범위에서는
주어진 함수를 local하게 일차식으로 근사시키고, 여기에 little o로 표현되는 error term 하나 붙이는 방식을 가리키는 것이라 생각되는데요.
"best"라는 말이 붙어서 혹시 다른 게 아닌가 싶어서 질문 드립니다.
제가 생각하고 있는 그 성질이 아니라면 간단하게 좌표 찍어주시면 대단히 감사하겠습니다. ^^
허허, 영광이라뇨...;; 뭐 사실 그 말이 그 말이라 딱히 다른 개념은 아닌데요, 그냥
[성질] 임의의 ε > 0 에 대하여, 어떤 δ > 0 이 존재하여, |Δx| < δ 이면 항상 | f(x+Δx) - (f(x) + f'(x)Δx) | ≤ ε|Δx| 이다.
를 만족하면 함수 f 가 x에서 미분 가능하고 미분계수가 f'(x) 라는 식으로 조금만 말을 바꾼 것이죠.
깔끔하네요. 감사합니다! :)
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sodong212.blog.me 입니다. :)