아래 고난이도 문제 풀이
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초등적인 풀이가 있는지는 모르겠지만, 제가 할 수 있는 능력 범위 내에서는 대충 이렇게 풀 수 있습니다:
를 만족하는 유일한 -1 < β < 1 를 잡읍시다. 그러면
이므로,
입니다. 그런데 우변의 무한급수는 Weierstrass M-test로부터 uniformly converge하므로, 양 변을 0에서 π까지 적분할 때 항별적분이 가능합니다. 따라서
입니다.
뭐 아니면 적당히 식 조작해서 residue calculation을 해도 되겠지요. 예를 들면
와 같이 말이지요. 단, 여기서 마지막 줄은 적분하는 함수가 |z|=1 과 그 내부에서 holomorphic하기 때문입니다. z = 0 이 removable singularity라는 건 공공연한 비밀이지요.
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저도 초등적인 풀이가 가능한지궁금해서 올려봤는데
안풀리길래 삭제했었다가 `ㅅ`