접선의방정식 질문이요

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이게 뭔지 아시는분에 한해서 질문할게요.

이거 언제만 쓸 수 있는거죠?

y=2x^2 + 5x + 7

위 함수에는 적용이 안되는데

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아벨 · 275402 · 12/04/29 09:39 · MS 2009

누가 이런 엉터리를 가르쳐줬죠? 마지막 두줄..

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sos440 · 104180 · 12/04/29 11:49 · MS 2005

F(x, y) = ax² + by² + cx + dy + e = 0

을 만족하는 자취 L 위의 점 (x1, y1)에서 L에 그은 접선을 구할 때 사용하는 일종의 편법입니다. 일반적으로 먹히는 건 아니고, 오직 위와 같이 주어진 꼴의 자취에서만 먹힙니다.

약간 대학수학을 사용한 증명은 다음과 같습니다. (물론 고등학교 과정으로도 증명할 수 있습니다. 다만 일반성이라는 측면에서 상당히 밀립니다.)

[유도과정] ∇F 가 F = 0 의 자취와 항상 수직함은 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 원하는 접선의 방정식은

∇F(x1, y1) · {(x, y) - (x1, y1)} = 0
⇔ (2ax1 + c, 2by1 + d) · (x - x1, y - y1) = 0
⇔ 2ax1(x - x1) + c(x - x1) + 2by1(y - y1) + d(y - y1) = 0
⇔ ax1x - ax1² + (cx - cx1)/2 + by1y - by1² + (dy - dy1)/2 = 0

입니다. 이제 위 식에 F(x1, y1) = ax1² + cx1 + by1² + dy1 + e = 0 을 더하면,

ax1x + (cx + cx1)/2 + by1y + (dy + dy1)/2 + e = 0

이 되어 원하는 바가 증명됩니다. 예를 들어 질문하신 문제의 경우, F(x, y) = 2x² + 5x - y + 7 = 0 의 자취이므로, (x1, y1) 위의 점에서의 접선의 방정식은 2x1x + 5(x + x1)/2 - (y + y1)/2 + 7 = 0 이 됩니다.

이제 F(x, y) = ax³ + bx² + cx + dy³ + ey² + fy + g = 0 의 자취에 대하여 같은 논리를 적용해봅시다. 그러면

∇F(x1, y1) · {(x, y) - (x1, y1)} = 0
⇔ (3ax1² + 2bx1 + c, 3dy1² + 2ey1 + f) · (x - x1, y - y1) = 0
⇔ 3ax1²x - 3ax1³ + 2bx1x - 2bx1² + cx - cx1 + 3dy1²y - 3dy1³ + 2ey1y - 2ey1² + fy - fy1 = 0
⇔ ax1²x - ax1³ + (2/3)bx1x - (2/3)bx1² + (1/3)cx - (1/3)cx1 + dy1²y - dy1³ + (2/3)ey1y - (2/3)ey1² + (1/3)fy - (1/3)fy1 = 0

이며, 마찬가지로

ax1²x + (2/3)bx1x + (1/3)bx1² + (1/3)cx + (2/3)cx1 + dy1²y + (2/3)ey1y + (1/3)ey1² + (1/3)fy + (2/3)fy1 + g = 0

입니다. 따라서 3차식이 포함되어 있기만 해도 더 이상 같은 공식을 사용하는 것이 불가능함을 압니다. (결론은, 마지막 두 줄은 골룸골룸)

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살아있네 · 264140 · 12/04/29 12:53 · MS 2008

정...정체가......?

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철지배 · 398557 · 12/04/29 16:50 · MS 2011

고수님임..

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Soha · 387079 · 12/04/29 12:37

마지막 2개는 모르겠는데

위 4개는 2차곡선에서 사용가능한 공식이네요

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Soha · 387079 · 12/04/29 12:38

y=2x^2 + 5x + 7
이녀석도 이차곡선이니 되어야 하는뎅.. 안 되나요?

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아벨 · 275402 · 12/04/30 00:11 · MS 2009

sos님, 오래간만이네요..
마지막 두 줄 빼고는 음함수 미분법으로 하는게 고등학생이 느끼기는 더 나을 것 같네요. 종로교재에도 증명을 실어놓았고요.
참고로, xy 대신에는 (x_1 y + x y_1)/2 를 대입하면 되는데, 이것은 이차곡선의 회전변환에서 나오는 꼴이라 수능과는 상관없습니다

y=2x^2 + 5x + 7 도 당연히 됩니다

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베타테스터 · 270672 · 12/05/07 00:20 · MS 2017

감사합니다 마지막두줄은 제가 미분해서 접선의방정식 구한후 정리하니 저렇게 유도되서 끼워넣은거에요.

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