시그마는 인테그랄 안밖을 마음대로 왔다갔다 할 수 있나요?
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시그마는 인테그랄 안밖을 마음대로 왔다갔다 할 수 있나요?
시그마랑 인테그랄 성질 좀 정리해주세요 ㅠㅠㅠ.
시그마로 이어진 수열은 1.덧셈과 뺄셈은 분배가능 2.상수는 앞으로빼서 따로계산가능 3.k=1부터 n까지의 시그마는
nc(c는 상수)
인테그랄은 상수 밖으로 나갈수 있고, 합차 나눠서 할수 있고(각각으로), 분할해서 할수 있고의 특징이 있잖아요..시그마도 그런지.. 두개가 헷갈려요 개념은 알겠는데,, 성질이 ㅠ.ㅠ
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시그마가 곧 인테그럴..적분지렁이에요
시그마와 적분은 차이가 없어요. 애초에 적분이 구분구적법에 의해 얻어지는 특수한 꼴의 시그마에 극한을 취한 것임을 생각해보세요.
한편 시그마와 적분의 순서를 바꿀 수 있냐는 질문에는 조금 신중하게 답해야 합니다.
시그마가 만약 유한개의 항을 합하고 있다면, 이 경우 시그마가 함에 의해 분배된다는 사실을 '유한 번' 적용해서 얼마든지 순서를 바꿀 수 있습니다. 쉽게 표현하자면,
∑ ∫ f_k(x) dx
= ∫ f_1(x) dx + ∫ f_2(x) dx + ∫ f_3(x) dx + … + ∫ f_n(x) dx
= ∫ {f_1(x) + f_2(x)} dx + ∫ f_3(x) dx + … + ∫ f_n(x) dx
= ∫ {f_1(x) + f_2(x) + f_3(x)} dx + … + ∫ f_n(x) dx
…
= ∫ {f_1(x) + f_2(x) + f_3(x) + … + f_n(x)} dx
= ∫ ∑ f_k(x) dx
가 됩니다.
하지만 여기서도 추측할 수 있듯이, 무한합과 적분의 순서를 바꿀 수 있냐는 질문에 대해서 위와 같은 풀이는 더 이상 먹히지 않게 됩니다. 그리고 실제로 반례도 존재합니다. 무한합과 적분의 순서를 바꿀 때에는 그래서 상당히 신중해야 합니다. (물론 그래서 고등학교 때 이런 식의 문제는 직접 계산으로 땜빵 가능한 경우를 빼고는 등장하지 않습니다. 대학교 미적분에서는 구렁이 담넘어가듯이 얼버무리는 경우가 많고요.)
어머 정말 감사합니다ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ 그러면 유한합에서는 일단 두개는 서로 왔다갔다 해도 된다고 알고 있으면 되는 거네요.. 감사해요 진짜 ㅜ-ㅠ