[김기대] 수학 교과외에 대하여

안녕하세요 김기대입니다.

2020 기대모의고사 맛보기이자 6평대비 무료배포 모의고사 검토가 거의 완료되가고 있습니다.

이번 검토의 제일 큰 성과는, 옯라인 검토진의 유능함을 발견한 것 입니다.

수학과 검토진들과는 다른 장점이 있는 것 같네요.

검토에 참여해주신 분들 모두 감사하게 생각하고 있습니다. ㅎㅎ

검토진들의 반응을 보니, 기대하셔도 좋을 것 같습니다.

본글로 돌아와서,

제가 예고해드린 나형 ㄱㄴㄷ에 앞서 교과외에 대한 얘기를 해보고자 합니다.

교과외는 항상 핫합니다.

쓸모 없다 vs 알면 좋다 vs 최상위권에게는 꼭 필요하다 정도로 파가 나뉘는데요.

딱 제가 정해드립니다.

굳이 점수화 시키자면 80: 20: 0 입니다.

1. 니가 교과외를 알아?? 우리 소듕한 교과외, 무시 말라구!! 알면 얼마나 아는데 깝침??

예상되는 반응입니다. 정치를 1도 모르는 사람이 무근거로 현 정세를 까면 불편한 것 처럼

교과외를 잘 모르는 사람이 교과외를 까면, 교과외 찬양론자들은 불편할 수 밖에 없습니다.

그럼 간단히 제 소개를 해볼까요? 시간순입니다.

- 중1 때 '집합과 명제' 단원을 만나 시골 중학교 수학 전교 150등 찍음 헤헤

- 중 2 때 울산으로 전학 후 친해진 친구들이 하필 전교 1, 2등. 특목고 학원 따라갔더니 꼴찌반 됨.

- 친구들하고 같은 최상위반 되려고 3개월동안 수학만 빡공. 수학 전교 1등. (친구들한테 좀 미안했음)

- 학원에서 유망주라며 KMO 시킴. 6개월 만에 동상 (그니까, 약 1년만에 전교 150등에서 전국권 된거)

- 이 때 연마한 교과외 내용들로 고등학교 3년동안 수학을 기본공부만 하고 꽤 잘 풀어재낌 - 내신 1등급, 모의 1등급

(ex. 벡터내적최대최소? 좌표잡고 외적쓰고 코시슈바르츠 부등식, 더 나아가서 재배열 부등식 쓰면 모든 문제 풀렸음 그 당시엔. 그래서 벡터분해 고3 수능 끝나고도 몰랐음.)

2류 전국수학경시대회 (는 KMC, 성대경시에선 울산시 1등, 서울시 7등 했음)도 아닌 KMO 입상잔데,

학원에서 잠깐 배운 교과외가지고 깝치는 예찬론자들보다는 많이 아는거

인정해 안해? 삽인정 할 수 있는 부분~

2. 이럼에도 불구하고, 전 교과외를 지양합니다.

남들보다 더 많이 알고 있습니다.  남들보다 더 잘 써먹을 수 있습니다.

그럼에도 교과외를 지양하는 이유는,

수능에선 몰라서 손해보는 일이 1도 없기 되기 때문입니다.

근데 왜 알면 좋다에 20점이나 줬냐구요?

알면 좋다의 정확한 문장을 풀어 쓰면

'교과서적 해법이 기저에 단단히 깔려있는 상태에서, 쓸모있는 교과외를 알면 좋다.' 

이고, 저는 이 문장에 어느정도 공감하기 때문에 20점을 준거에요.

3. 가형 공간벡터 외적 vs 나형 삼차함수 변곡점

교과외의 대표주자가 가형에서는 외적이 있을거고, 나형에서 변곡점이 있을 건데,

이 중 윗 문장에서 언급한 쓸모있는 교과외 는 무엇일까요?

가형 외적얘기를 먼저 해보죠.

외적은 두 벡터에 동시에 수직인 벡터를 찾기 쉽게 해줍니다.

그래서, 평면과 직선 사이 관계를 찾아낼 때 유용한 도구가 되죠.

하지만, 이 외적은 교과과정 내의 내용과 일맥상통하는 부분이 전혀 없습니다.

내적을 통해 외적을 증명해낼 수는 있지만, 이 말은 그냥 내적으로 풀면 된다는 말과 같습니다.

또한 외적으로 풀면 교과서적 해법보다 빨리 풀리는 문제의 경우, 평가원에서 '완벽하게' 걸러냅니다.

설마, 수학을 전공하신 교수님들보다 본인이 교과외 풀이를 더 잘 발견할 자신이 있는 분이 계신건 아니죠? ㅎㅎ

따라서 외적은 몰라도 되는 교과외이지만,

잘못 적용시켜 틀릴 수 있는 환경

(ex. 코시슈바르츠 부등식은 등호조건을 만족시켜야 쓸 수 있는 제한적 환경이 있음)

이 조성되지 않기 때문에, 그리고 워낙 내용 자체가 직관적이며 easy하므로

본인이 여력이 있으면 해도 되는 교과외 정도일 뿐 추천드리진 않습니다.

보험/필살기로 알아두는건 어떻냐?

그 보험/필살기를 안쓸 정도로 교과서적 해법을 연마하는게 훨씬 빠릅니다.

반면 나형 삼차함수의 변곡점은 얘기가 다릅니다.

결론적으로 삼차함수는 변곡점에 대하여 대칭입니다.

이를 쓰면 상당히 많은 얘기를 할 수 있게 되는데요,

사실 이것은 알아둘만 합니다.

센세... 제가 혼-란이란게 좀 옵니다. 왜 외적은 안되고 이건 됩니까..

변곡점에 대한 이론은 전부 '도함수의 정적분'으로 설명됩니다.

근데 삼차함수의 도함수가 이차함수이고, 우리가 잘 알고 있는 선대칭함수이기 때문에!

의미있는 이론들이 마구 튀어나오게 됩니다.

이건, 변곡점이라서 도움이 되는게 아니고

'도함수가 극대, 극소인 점이자 도함수가 대칭인 선 위의 점'이라서 도움이 되는 거지요.

즉, 변곡점을 알아야 한다가 아니고

'도함수가 극대, 극소인 점이자 도함수가 대칭인 선 위의 점'을 파고들어야 한다는 겁니다.

근데 그 점을 부르는 명칭이 이미 변곡점이라고 알려져있기 때문에

변곡점이라고 알아둬도 무방하다는 겁니다.

물론! 저는 나형러들한테 변곡점을 가르쳐본 적이 없습니다 ^^ 도함수 관점에서 해석해줄 뿐.

이 부분 (3.) 잘 이해하셔야해요. 대충 읽고 앙앙앙 하시면 오히려 독이 됩니다. 

4. 본인이 신장시키고 싶은게 수능수학점수인지, 학문적 실력인지 명확히 하세요.

본인이 원하는게 전자라면, 교과외 필요 없습니다.

본인이 원하는게 후자거나, 본인의 주력전형이 논술이라면 교과외 어느정도 알아두세요.

이 교과외 내용이 그대로 논술에 나오기 때문에 알아두라는 것이 아니고

교과외를 이해하는 과정에서 필요한 사고력이 수학의 학문적 실력을 증진시켜주기 때문입니다.

(어려우니까, 더 많은 사고력이 필요로 합니다.)

이 말은 다른 관점에서 해석하면,

결과만 외우면 말짱도루묵이란 뜻입니다.

교과외정리를 흡수하시려면, 그 정리의 증명까지 해야 의미있는 공부가 된다는 뜻입니다.

물론 본인의 목표가 수능이라면 필요없음을 다시 한 번 강조합니다.

오늘 하루도 화이팅 해용 ^~^