순열조합입니다
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풀이아시는분 부탁드립니다
문제 파일첨부합니다(2문제입니다)
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뭔가 문제 앞에 주저리주저리 셋팅이 좀 길지만, 이것은 원 위에서 점들이 비대칭적으로 잘 찍혀있어서 세 선이 동시에 한 곳에서 안 만나도록 되어있다는 뜻일 뿐입니다.
이제 내부의 삼각형들을 다음과 같이 네 가지 타입으로 나눕시다.
(1) 세 꼭지점이 모두 원주 위에 놓이는 경우
(2) 두 꼭지점만이 원주 위에 놓이는 경우
(3) 한 꼭지점만이 원주 위에 놓이는 경우
(4) 세 꼭지점이 모두 원의 내부에 놓이는 경우
각각의 경우 각 삼각형을 이루는 선분들을 연장한 선들이 원주상에서 각각 3곳, 4곳, 5곳, 6곳과 만나는 것을 알 수 있습니다. 따라서 우리는 원주상에서 3개, 4개, 5개, 6개의 점을 임의로 택한 후, 이 점들을 다 이었을 때 몇 개의 삼각형을 만들 수 있는지만 관찰하면 됩니다.
(1) ⇔ 3개 : 오직 하나의 삼각형만이 만들어집니다.
(2) ⇔ 4개 : (1)의 경우에 해당하는 삼각형을 빼고 나면, 정확하게 4개가 만들어집니다.
(3) ⇔ 5개 : 이런 경우가 발생하려면, 원주상의 세 점을 이어 만든 V자 모양 선을 나머지 두 점을 이어 얻은 선분 ㅡ 가 가로지르는 꼴이 되어야 함을 금방 깨달을 수 있습니다. 따라서 V자 모양의 꼭지점 하나만 정해주면 삼각형 하나가 정해지고 그 반대도 마찬가지이므로, 정확하게 5개가 만들어집니다.
(4) ⇔ 6개 : 6개의 점들을 이은 6각형을 생각했을 때, 마주보는 꼭지점들끼리 이어서 생긴 세 선들이 이루는 단 하나의 삼각형이 이 조건에 부합합니다. 따라서 이 경우 정확하게 1개가 만들어집니다.
그러므로 모든 경우의 수는
10C3 + 4×10C4 + 5×10C5 + 10C6 = 2430
입니다.
... 라고 생각하지만, 답이 틀리다면 피드백도 받습니다. =ㅁ= 경우의 수는 저도 약해서;;
감사합니다 풀이가 없어 무지하게 고민했었던 문제였습니다
다시한번 명쾌한 풀이에 감사드립니다